动态规划---最长上升子序列问题（O(nlogn),O(n^2)）
LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。
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先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法:
设a[t]表示序列中的第t个数，dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设dp[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。
一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。
代码实现如下：
#include<iostream> using namespace std; #define max(a,b) a>b?a:b int main() { int n, i, j, dp[101], x[101], max_len; while (cin >> n) { for (i = 0; i < n; i++) cin >> x[i]; dp[0] = 1;//表示以x[0]为子序列最右边的长度位1 for (i = 1; i < n; i++) { dp[i] = 1;//初始化每种情况最小值为1 for (j = 0; j < i; j++) { if (x[i]>x[j] && dp[j] + 1>dp[i])//从0-i进行扫描,查找边界小于当前最优解长度相等的解优化最优解 dp[i] = dp[j] + 1;//如果允许子序列相邻元素相同 x[i]>=x[j]&&dp[j]+1>dp[i]; } } for (i = max_len = 0; i < n; i++) max_len = max(max_len, dp[i]);//等到最大子序列长度 cout << max_len << endl; } return 0; }
最长上升子序列O(nlogn)解法
在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。
设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：
dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].
考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].
按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设g[k]记录这个值，g[k]=min{a[t],dp[t]=k}。
这时注意到g的两个特点（重点）：
1. g[k]在计算过程中单调不升；
2. g数组是有序的，g[1]<g[2]<..g[n]。
利用这两个性质，可以很方便的求解：
(1).设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：
(2).若x>g[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）
否则，在g中二分查找，找到第一个比x小的数g[k]，并g[k+1]=x，在这里x<=g[k+1]一定成立（性质1,2）。
代码实现如下：
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 50001; int binary_search(int key, int *g, int low, int high) { while (low < high) { int mid = (low + high) >> 1; if (key >= g[mid]) low = mid + 1; else high = mid; } return low; } int main() { int i, j, a[maxn], g[maxn], n, len; while (cin >> n) { memset(g, 0, sizeof(g)); for (i = 0; i < n; i++) cin >> a[i]; g[1] = a[0], len = 1;//初始化子序列长度为1，最小右边界 for (i = 1; i < n; i++) { if (g[len] < a[i])//(如果允许子序列相邻元素相同 g[len]<=a[i],默认为不等） j = ++len; //a[i]>g[len],直接加入到g的末尾,且len++ else j = binary_search(a[i], g, 1, len + 1); g[j] = a[i];//二分查找,找到第一个比a[i]小的数g[k],并g[k+1]=a[i] } cout << len << endl; } return 0; }
例题分析：（swust oj 126 低价购买）
低价购买
这里是某支股票的价格清单：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：
日期 2 5 6 10
价格 69 68 64 62
第2行: N个数，是每天的股票价格。
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1
2
3
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12
68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
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1
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4 2
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分析：在扫描[1,i-1]寻找最优解时，如果当前解与已知最优解相同，就进行累加；如果更大，就覆盖之前的结果。对于重复方案的判断，可以比较已
知最优解的末尾和和当前解的末尾，两个价格如果相同，那么就不能进行累加，而应该选取更靠后的一个。显然靠后的价格会有不少于靠前的
价格的方案数，例如序列3,2,3,2,1：
num[2]=1,num[4]=2。
为了方便起见，可以从后往前扫描，即i-1 to 1，并用t记录最近一个最优解的price，只有小于t的price[j]才进行累加和更新。
AC 代码：
#include<iostream> using namespace std; int price[5001], dp[5001], num[5001]; int main() { int n, i, j, t; cin >> n; for (i = 0; i < n; i++) cin >> price[i]; for (i = 0; i <= n; i++) { num[i] = 1; t = 0x3f3f3f3f; //判断是否为相同方案的变量 for (j = i - 1; j >= 0; j--) if (price[j]>price[i]) { if (dp[j] >= dp[i]) { t = price[j]; dp[i] = dp[j] + 1; num[i] = num[j]; } else if (dp[j] + 1 == dp[i] && price[j] < t) { t = price[j]; num[i] += num[j]; } } } cout << dp[n] << ' ' << num[n] << endl;; return 0; }
不得不说一句dp是个神奇而强大的思想~~~~