线性代数【六】：解线性方程组
本节为线性代数复习笔记的第六部分，解线性方程组，主要包括：解齐次方程组和非齐次方程组。
1.解齐次线性方程组
e g . eg. eg. { x 1 + x 2 − 3 x 4 − x 5 = 0 x 1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 = 0 4 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 − 4 x 5 = 0 2 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 7 x 5 = 0 \begin{cases}x_1+x_2-3x_4-x_5=0\\x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1+x2−3x4−x5=0x1−x2+2x3−x4=04x1−2x2+6x3+3x4−4x5=02x1+4x2−2x3+4x4−7x5=0
解 ： 解： 解：
(1)写出系数矩阵 A = [ 1 1 0 − 3 − 1 1 − 1 2 − 1 0 4 − 2 6 3 − 4 2 4 − 2 4 − 7 ] A=\left[\begin{matrix}1&1&0&-3&-1\\1&-1&2&-1&0\\4&-2&6&3&-4\\2&4&-2&4&-7\end{matrix}\right] A=⎣⎢⎢⎡11421−1−24026−2−3−134−10−4−7⎦⎥⎥⎤
(2)化A为阶梯形矩阵 B = [ 1 1 0 − 3 − 1 0 − 2 2 2 1 0 0 0 3 − 1 0 0 0 0 0 ] B=\left[\begin{matrix}1&1&0&-3&-1\\0&-2&2&2&1\\0&0&0&3&-1\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right] B=⎣⎢⎢⎡10001−2000200−3230−11−10⎦⎥⎥⎤
只行变换，且r(A)=r(B)=3，具体变换过程为：
(2)-(1) >> (3)-4(1) >> (4)-2(1) >> (3)-3(2) >> (4)+(2) >> (4)-4/3(3) >> 1/3(3)）
在矩阵B中的每个台阶上取一列，必成线性无关向量组，剩余位置为自由变量
(3) 根据阶梯矩阵得到新的方程组： { x 1 + x 2 − 3 x 4 − x 5 = 0 − 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0 3 x 4 − x 5 = 0 \begin{cases}x_1+x_2-3x_4-x_5=0\\-2x_2+2x_3+2x_4+x_5=0\\3x_4-x_5=0\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2−3x4−x5=0−2x2+2x3+2x4+x5=03x4−x5=0
(4) 基础解系的数量为n-r(a)=2，我们，也就是自由变量的数量，为了简单其间，这两个自由变量在基础解系中一般只取可以组成“m阶单位矩阵”，如下所示，我们取 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4为自由变量，根据阶梯矩阵得到的新方程一次计算基础解系中其他变量的值，两个基础解系分别为：
ξ 1 = ( − 1 , 1 , 1 , 0 , 0 ) T ξ 2 = ( 7 2 , 5 2 , 0 , 1 , 3 ) T \xi_1=(-1,1,1,0,0)^T\\\xi_2=(\frac72,\frac52,0,1,3)^T ξ1=(−1,1,1,0,0)Tξ2=(27,25,0,1,3)T
(5)写出通解 ξ = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 \xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2 ξ=k1ξ1+k2ξ2
2. 解非齐次线性方程组
e g . eg. eg. { x 1 + 5 x 2 − x 3 − x 4 = − 1 x 1 − 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 3 3 x 1 + 8 x 2 − x 3 + x 4 = 1 x 1 − 9 x 2 + 3 x 3 + 7 x 4 = 7 \begin{cases}x_1+5x_2-x_3-x_4=-1\\x_1-2x_2+x_3+3x_4=3\\3x_1+8x_2-x_3+x_4=1\\x_1-9x_2+3x_3+7x_4=7\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1+5x2−x3−x4=−1x1−2x2+x3+3x4=33x1+8x2−x3+x4=1x1−9x2+3x3+7x4=7
解 ： 解： 解：
(1) 写出增广矩阵 [ A , b ] = [ 1 5 − 1 − 1 − 1 1 − 2 1 3 3 3 8 − 1 1 1 1 − 9 3 7 7 ] [A,b]=\left[\begin{matrix}1&5&-1&-1&-1\\1&-2&1&3&3\\3&8&-1&1&1\\1&-9&3&7&7\end{matrix}\right] [A,b]=⎣⎢⎢⎡11315−28−9−11−13−1317−1317⎦⎥⎥⎤
(2) 化为阶梯形矩阵： [ 1 5 − 1 − 1 − 1 0 − 7 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \left[\begin{matrix}1&5&-1&-1&-1\\0&-7&2&4&4\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&\end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡10005−700−1200−1400−1400⎦⎥⎥⎤
具体变换过程：（(2)-(1) >> (3)-3(1) >> (4)-(1) >> (3)-(2) >> (4)-2(2)）
(3) 求对应齐次通解： ξ = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 \xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2 ξ=k1ξ1+k2ξ2
ξ 1 = ( − 3 7 , 2 7 , 1 , 0 ) T ξ 2 = ( − 13 7 , 4 7 , 0 , 1 ) T \xi_1=(-\frac37,\frac27,1,0)^T\\\ \\ \xi_2=(-\frac{13}7,\frac47,0,1)^T ξ1=(−73,72,1,0)T ξ2=(−713,74,0,1)T
(4) 求一个特解： ξ 0 = ( 13 7 , − 4 7 , 0 , 0 ) T \xi_0=(\frac{13}7,-\frac47,0,0)^T ξ0=(713,−74,0,0)T
(5) 写出非齐次线性方程组的通解：
[ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] T = ξ 0 + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 [x_1,x_2,x_3,x_4]^T=\xi_0+k_1\xi_1+k_2\xi_2 [x1,x2,x3,x4]T=ξ0+k1ξ1+k2ξ2
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