编程珠玑 读书笔记 求最大的子串和

问题：有一个数组 31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84 。现在要求出它的连续子串的最大值。
比如，31,-41,59,26是它的一个连续的子串，他们的和为75。但是75并不是最大值，有一个子串 59,26,-53,58,97它们的和187才是最大的。

求解：《Programming Pearls》第77页开始一共给出了4种解法，前两种非常简单，是大多数人思考几分钟就能想出的方法，但是复杂度却很高，分别为O(n^3)和O(n^2)。后两种解法则非常巧妙，更神奇的是第四种方法居然只有线性复杂度O(n)!

解法1、解法2略。
解法3：分治法,复杂度为O(nlogn)。
分治法在结构上是递归的，在保证不改变原问题的条件下，将问题的规模减小，生成多个子问题，并多次递归调用自身来解决子问题，之后再将子问题的求解结果合并成原问题的解。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

对于case1，我们只要比较ma和mb的大小就可以得出原数组的最大子串的和了，而对于case2只要把ma和mb相加即可。以上只是将问题一次分解的过程，我们还需要将问题再分解直到不能在分解或是能直接得出结果为止。
什么时候能直接得出结果？当子数组只有一个元素的时候，此时ma就是它本身（为负数时我们让它为0）。
因此，原数组的最大和= 2个子数组中最大和的较大者，或者，包括中间分界线的一段连续区域的和。
即，maxsum(orignial)=max(mc，maxsum(a)，maxsum(b))
递归结束的条件是，子数组只有一个元素，如果是正返回它本身，为负返回0.

伪代码如下。

int maxsum(l,u)     if(l>u)       return 0;     if(l==u)       return max(0,x[l])     m=(l+u)/2     lmax=sum=0     for(i=m;i>=l,i--)        sum+=x[i]        lmax=max(lmax,sum)     rmax=sum=0;     for i=(m,u]        sum+=x[i]        rmax=max(rmax,sum) return max(lmax+rmax,maxsum(l,m),maxsum(m+1,u))

解法4：扫描法。一次扫描数组即可得出答案，复杂度O(n)。这种方法用文字描述不容易说清楚，下面用每一步运算的图示来表达。伪代码如下：

maxsofar=end=0; for i=[0,n)     end=max(end+x[i],0)     maxsofar=max(maxsofar,end)

 

 

 

即使后面没有这样的值了，maxsofar中还保存了原来的最大和，有恃无恐。这里的一条重要原则是目前end的值必须>0，如果<0，则不用考虑，立刻放弃end目前的值，将它置为0，并且把end的指针指向58。

以此类推下去，最后可得正确的结果。

总的说来，解法4虽然原理很简单，还是自己很难想出来，甚至看了书上的讲解后还是存有疑惑，总觉得“这样子就可以了吗？在一些极端情况下不会出错吗？”即使写完这篇blog后，感觉我还是没有领会解法4的精髓。等到再读《编程珠玑》第2遍、第3遍以后，回过头来重新写读书笔记，也许有更多感悟。