线性方程组的迭代法

计算方程组的一般方法分为直接求解法和迭代计算法，直接求解法会占用计算机的过多资源，增加了程序的复杂程度。而使用迭代的方法会简便程序的设计复杂度，更加适合大规模矩阵的计算要求。 

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目录

一. 线性方程组迭代基本

二. 定常迭代法

2.1 jscob迭代法

2.2 Gauss—Seidel迭代法

2.3 松弛法

2.3.1 Richardson

2.3.2 Jacobi松弛

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一. 线性方程组迭代基本

 对于一般的矩阵形式，的非奇异矩阵。将该式变化为的等价形式。将该式构造为可迭代的形式。

迭代矩阵的可行性：

上式的迭代公式中的矩阵是作为收敛矩阵，当收敛矩阵的谱半径小于1时，认为矩阵是收敛的，形式为。

向量收敛情况为，向量中的各个元素是收敛的，即：。 

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二. 定常迭代法

利用迭代形式进行求方程组的近似解的简单迭代解。定义矩阵的形式，

，而为对角矩阵，为矩阵的上下三角矩阵。

2.1 jscob迭代法

迭代计算的初始化的值任选，然后依据计算公式去迭代计算

                                                              （2-1）

将线性方程组写成

                                                          （2-2）

迭代的方程右式括号里可以写为：

又，则

则迭代矩阵（2-2）可以写为；这里与基本的迭代公式进行对应。，。

2.2 Gauss—Seidel迭代法

继续采用（2-1）矩阵进行变换，其迭代格式表示为（2-2）；其中采用上下三角矩阵&表示为

将和分类，可以变换为：

，将对角矩阵的逆矩阵左乘

得 ；其中最终的形式为：

。

2.3 松弛法

 通过与公式这里的是控制收敛速度。

其中是迭代格式。关于迭代的形式如下：

2.3.1 Richardson

 取迭代格式，则则

###关于为正定矩阵时，时收敛。当时收敛速度最快。待求验

2.3.2 Jacobi松弛

取雅克比迭代格式松弛的迭代格式，则:

则:

同理时，JOR收敛

2.3.3 超松弛（SOR方法）

取Gauss—Seidel的迭代格式:

则松弛迭代格式为:

其中：