高中数学第二期

出自2019全国I卷

答案就在后面，同学们可以先动手算一算

“人工智能先驱” 吴文俊

解析：

线面平行判定定理：1.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2.平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

第一小题由题目给出的直接条件，直棱柱，三个中点，E,M,N，很容易就能构造出一个平行四边形，结合线面平行判定定理1，可得MN//平面C1ED1.

第二小题用的向量法，建立直角坐标系进行向量运算，需熟记线面角，线面余弦值，线面正弦值的向量公式和算法步骤。

出自2019全国I卷

15.甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主科主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜的概率是( ) 。

答案就在后面，同学们可以先动手算一算

“数学大满贯得主”邱成桐

P=P1X0.6+P2X0.6=(P1+P2)X0.6=0.18

题目中说比赛结果相互独立，可知其中有概率公式中的分步乘法。

出自2019全国I卷

3.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则

A. a

B. a

C. c

D. b

答案就在后面，请同学们先动手算一算

“中国数学之王”苏步青

解析：a=log20.2<0, 单调递增；01单调递增。

所以 a

对于这一题，同学如果比较熟练地掌握了指数函数和对数函数的图像及其含义，则不难做此题。

上一期我们聊到了印度的天才数学家拉马努金，这一期我们就来聊聊教导这位数学天才的导师——英国著名数学大师Godfrey Harold，哈代。

年少时的哈代

生平简述

哈代，于1877年2月7日生于英国克兰利，1947年12月1日卒于剑桥大学。哈代的父亲I．哈代(Hardy)是克兰利中学的教师，母亲索菲娅(Sophia)是林肯师范学院的教师，他还有一个妹妹．哈代的父母很有文化素养，也极重视数学，因经济拮据未能上大学，却为儿女提供了良好的教育。13岁进入以培养数学家著称的温切斯特学院。1896年去剑桥三一学院，并于1900年在剑桥获得一个职位。同年得史密斯奖。以后，在英国牛津大学、剑桥大学任教授。他和J.E.李特尔伍德长期进行合作，写出了近百篇论文，在丢番图逼近，堆垒数论、黎曼ξ函数、三角级数、不等式、级数与积分等领域作出了很大贡献，同时是回归数现象发现者。在20世纪上半叶建立了具有世界水平的英国分析学派。

求学路程

13岁时，他获得奖学金进入当时以数学家摇篮而著称的温切斯特(Winches-ter)学院学习．1896年又获入学奖学金进入剑桥大学三一学院继续深造，他的数学生涯从此与剑桥紧密联系起来。哈代很早就养成喜欢自由提问和探索的习惯，在剑桥开始学习时，他对于机械的授课模式不满，后来幸运地被允许转听应用数学家A．E．H．拉弗(Love)教授的课。这对于哈代后来成长为一名数学家至关重要．他在著作(文献[3]，第29节)中生动地写道：“第一个使我拨云见日的是拉弗教授，他教了我几个学期，使我对分析有了第一个严肃的概念。但最使我感激的是他建议我阅读M．E．C．若尔当(Jordan)的名著《分析教程》(Cours d’analyse)．我永远不会忘记我读那本杰作时的震惊，这是我这代数学家受到的第一个启迪，读这本书时我才第一次认识到数学真正意味着什么。”

谦逊的合作者

哈代长李特尔伍德8岁，他们结识于1904年，在长达35年的合作中，联名发表了约100篇论文，其中包括丢番图逼近、堆垒数论、数的积性理论、黎曼ξ函数、不等式、一般积分、三角级数等广泛的内容。哈代-李特尔伍德极大函数，哈代-李特尔伍德圆法，哈代-李特尔伍德定理等联系着二人名字的数学成果正是他们亲密合作的写照．在他们集中合作的1920—1931年间，哈代执教于牛津而李特尔伍德执教于剑桥，他们通过学院的邮政来邮寄数学信件，即使二人同在三一学院时也是如此，并且他们达成一种默契：当互相收到信件时，先不读解法，而是要独立解决其中的问题，直到取得一致意见，最后由哈代定稿。当时，一些不了解内情的国外数学家认为李特尔伍德根本不存在，只是哈代虚构的一个笔名．事实上，李特尔伍德本身就是一个出色的数学家。通过这种密切的学术合作，二人互相切磋促进，共同建立了20世纪上半叶具有世界水平的英国剑桥分析学派。

哈代为人谦和，经常强调合作者的重要性而对自己轻描淡写。他曾说过正是得益于与李特尔伍德和拉马努金的平等合作才达到了他不同寻常的大器晚成。

浪漫师生情

哈代称自己对拉马努金的发现是他一生中的一段浪漫的插曲．拉马努金出生于印度的马德拉斯(Madras)，幼年即显示出数学的兴趣和才能，但因生活贫困，要不断为生计奔波，只能靠自学汲取数学知识。1913年初他给哈代寄了一封信，信中陈述了他对素数分布的研究并列有120条公式，涉及数学中多个领域．这些公式大部分已被别人证明，有些看起来容易，实际上证明起来很困难 [1] 。特别是后来被L．J．罗杰斯(Rogers)和G．N．沃森(Watson)证明的三个公式完全难倒了哈代。哈代确信拉马努金是一位数学天才，于是邀请他到英国，但作为一个婆罗门教的信徒，拉马努金对离开印度感到踌躇。哈代继续力劝拉马努金到剑桥，并经多方努力为他安排了奖学金，1914年4月，拉马努金来到英国。哈代花了很多心血教授拉马努金现代欧洲数学知识，他发现拉马努金知识的局限竟然与它的深奥同样令人吃惊。拉马努金对于证明仅有一种模糊不清的概念，对于变量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是对于数值和组合方面的事实，连分数、发散级数及积分、数的分拆、黎曼ξ函数和各种特殊级数却有深度的理解．他有很强的直觉和推理能力，其工作和思维方式多具挑战性。在哈代和李特尔伍德等人的帮助下，拉马努金进步很快，在素数分布、堆垒数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等领域取得了很多成果．

1919年2月拉马努金回到了印度，次年4月去世，年仅33岁．哈代对这位印度数学奇才的英年早逝深感痛惜。哈代和拉马努金这一段交往也长期被数学界传奇。

在这里分享一则迭事，也是一个广为流传的小故事：哈代有次在伦敦坐出租车去看望拉马努金。在与拉马努金的闲谈中提及他是乘1729这个车牌号的出租车来医院的：“这是一个无聊的数字，但愿它不是一个凶兆。”“不，”拉马努金说，“这是一个非常有趣的数字。我能用两种方法把它表示成两个立方之和：1729=9³+10³=1³+12³。”（事实上，1729是满足这个性质的最小的自然数。）后来，哈代曾兴致勃勃地讲这个故事的尾声：“自然，我就问他是否知道对应于4次方的这样一个问题的答案。他想了一会，说第一个这样的数很大，是635318657。”

李特尔伍德听到这宗轶闻时感叹地说：“每个正整数都是拉马努金的朋友。”后来1729就被称为哈代-拉马努金常数，或出租车数、的士数。

如果同学们对于哈代与拉马努金这一对师生了解更多，可以去看一下电影《知者无涯》。

电影知者无涯剧照

最后再分享一本哈代的小书《一个数学家的辩白》，里面详细的阐述了哈代本人对数学的看法，有兴趣的同学可以去阅读一番。