有界线性算子2

有界线性算子2

二、有界线性泛函及其表示

2.1 对偶空间与泛函表示

【定义】对偶空间/共轭空间

称赋范线性空间 $X$ 上有界线性泛函的全体 $X^{\ast }$ 是 $X$ 的对偶空间，或共轭空间

【定理】Hölder不等式

设 $x=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots )\in l^p,y=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots )\in l^p$，其中 $1<p,q<\infty$，满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则
∣ ∑ i = 1 ∞ ξ i η i ∣ ≤ ( ∑ i = 1 ∞ ∣ ξ i ∣ p ) 1 p ( ∑ i = 1 ∞ ∣ η i ∣ q ) 1 q \left| \sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\eta_i \right| \leq \left( \sum_{i=1}^\infty|\xi_i|^p \right)^{\frac1p} \left( \sum_{i=1}^\infty|\eta_i|^q\right)^{\frac1q} ​i=1∑∞​ξi​ηi​ ​≤(i=1∑∞​∣ξi​∣p)p1​(i=1∑∞​∣ηi​∣q)q1​
当 $p=q=2$ 时，即为 Schwarz 不等式¹

【定理】Riesz表示定理

设 $X$ 为Hilbert空间，$\forall f\in X^{\ast }$，存在唯一的 $y\in X$，使得 $f(x)=<x,y>$ 对一切 $x\in X$ 成立，且 $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$

三、有限维赋范线性空间

【定理】n维赋范线性空间的性质

设 $X$ 是 n 维赋范线性空间，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 $X$ 的基，则存在 $c_1,c_2>0$ 使得 $\forall x={\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{e}_i\in X$，有
$$c_1{\left(\sum _{i=1}^n|{\xi }_i{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}\le \Vert x\Vert \le c_2{\left(\sum _{i=1}^n|{\xi }_i{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$

【定理】有限维赋范线性空间的完备性

任何有限维的赋范线性空间都是完备的，因此赋范线性空间的任意有限维子空间都是闭的

【定理】有限维线性空间上的任何两个范数都是等价的

有限维线性空间上的任何两个范数都是等价的，即

• 若 $\Vert \cdot {\Vert }_1$，$\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是 n 维线性空间 $X$ 的两个范数，则 $\exists a,b>0$，使得 $\forall x\in X$ 有 $a\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1\le b\Vert x{\Vert }_2$

【定理】赋范线性空间是有限维的当且仅当他的每个有界闭集都是紧集

紧集²

【定理】有限维的赋范线性空间上的线性算子都是有界的

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1. 【Schwarz不等式】$|<x,y>|\le \sqrt{<x,x>}\sqrt{<y,y>}$ ↩︎

2. 【紧集】设 $(X,d)$ 为度量空间，$A\subset X$，若 $A$ 中任意收敛序列 $\{x_n\}$ 均有收敛子序列 $\{x_{n_k}\}$，使得 $\lim_{k\to\infty} x_{{n}_k}=x\in A $，则称 $A$ 为紧集 ↩︎