单车模型：横向动力学

  较高车速下，不能再假设车轮朝向和车轮速度一致。因此运动学模型在这里的误差就会比较大，必须要考虑动力学模型。

  现考虑2自由度单车模型，如下图所示。2自由度表示为：

• 车辆横线位置$y$：$O$点在车身坐标系下的位置，$O$点是车辆旋转中心
• 车辆横摆角$\psi$：车头相对全局坐标系$X$轴的夹角

车辆质心的纵向速度由$V_x$表示。

1 模型推导

  下面的内容不考虑坡道情况，首先根据牛顿第二定律，在$y$方向有：

$$m{a}_y=F_{yf}+F_{yr}$$
其中$a_y$代表车辆质心相对$y$轴的惯性加速度，$F_{yf}$和$F_{yr}$分别代表前后轮受到的横向力。$a_y$由两项组成：

• $y$方向运动产生的加速度$\ddot{y}$
• 向心加速度$V_x\dot{\psi }$

因此有：

$$a_y=\ddot{y}+V_x\dot{\psi }$$

联立获得车辆横向运动表达式：

$$m(\ddot{y}+\dot{\psi }{V}_x)=F_{yf}+F_{yr}\text{\hspace{1em}(1)}$$

沿$z$轴的横摆动力学方程可以描述为：

$$I_z\ddot{\psi }=l_f{F}_{yf}-l_r{F}_{yr}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$l_f$和$l_r$分别代表前后轮到车辆质心的距离。

  那么下一步就来对$F_{yf}$和$F_{yr}$建模，然后作用在车辆上。首先这里用到一个结论：轮胎受到的横向力在小的滑移角（slip-angle）下，与滑移角成正比。滑移角的定义为：轮胎方向与车轮速度矢量方向之间的夹角，如下图

由此，车辆前轮的滑移角为：

$${\alpha }_f=\delta -{\theta }_{V_f}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中${\theta }_{V_f}$为车辆纵轴方向测得的速度矢量，$\delta$代表前轮转角，后轮滑移角近似给为

$${\alpha }_r=-{\theta }_{V_r}\text{\hspace{1em}(4)}$$

前轮的横向力可以写为：

$$F_{yf}=2C_{{\alpha }_f}(\delta -{\theta }_{V_f})\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中$C_{{\alpha }_f}$被称为过弯刚度（cornering stiffness），可以定义为每一个角度产生的滑移所需的转弯力。乘2是因为有俩轮儿。同理可得后轮的

$$F_{yr}=2C_{{\alpha }_r}(-{\theta }_{V_r})\text{\hspace{1em}(6)}$$

轮胎转角${\theta }_{V_f}$和${\theta }_{V_r}$可由以下关系计算：

$$\begin{gathered} tan({\theta }_{V_f})=\frac{V_y+l_f\dot{\psi }}{V_x} \\ tan({\theta }_{V_r})=\frac{V_y-l_r\dot{\psi }}{V_x} \end{gathered}$$

前轮转角比较小的情况下，可近似为：

$$\begin{gathered} {\theta }_{V_f}=\frac{\dot{y}+l_f\dot{\psi }}{V_x} \\ {\theta }_{V_r}=\frac{\dot{y}-l_r\dot{\psi }}{V_x}\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

联合上式可得状态模型为:

d d t [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C α f + 2 C α r m V x 0 − V x − 2 C α f l f − 2 C α r l r m V x 0 0 0 1 0 − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z V x 0 − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z V x ] + [ 0 2 C α f m 0 2 l f C α f I z ] δ \cfrac{d}{dt} \begin{bmatrix}y\\\dot y\\ \psi \\ \dot \psi\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cfrac{2C_{\alpha_f} + 2C_{\alpha_r}}{mV_x} & 0 & -V_x - \cfrac{2C_{\alpha_f}l_f - 2C_{\alpha_r}l_r}{mV_x} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -\cfrac{2l_fC_{\alpha_f} - 2l_rC_{\alpha_r}}{I_zV_x} & 0 & - \cfrac{2l_f^2C_{\alpha_f} + 2l_r^2C_{\alpha_r}}{I_zV_x} \end{bmatrix} \\ +\begin{bmatrix}0 \\ \cfrac{2C_{\alpha_f}}{m} \\ 0 \\ \cfrac{2l_fC_{\alpha_f}}{I_z}{}\end{bmatrix}\delta dtd​ ​yy˙​ψψ˙​​ ​= ​0000​1−mVx​2Cαf​​+2Cαr​​​0−Iz​Vx​2lf​Cαf​​−2lr​Cαr​​​​0000​0−Vx​−mVx​2Cαf​​lf​−2Cαr​​lr​​1−Iz​Vx​2lf2​Cαf​​+2lr2​Cαr​​​​ ​+ ​0m2Cαf​​​0Iz​2lf​Cαf​​​​ ​δ

2 参考资料

• 《Vehicle Dynamics and Control》