【数值分析】插值法，lagrange插值，牛顿插值

1. 插值法介绍

插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。它通过构建一个函数或曲线，使其经过已知数据点，从而在数据点之间进行估计或预测。插值法的基本思想是假设已知数据点之间存在某种规律或趋势，并利用这种规律来推断未知数据点的值。通过插值法，我们可以在给定的数据点集合上构建一个连续的函数，从而可以在数据点之间进行插值计算。
需要注意的是，插值法只能在已知数据点之间进行插值，对于超出已知数据范围的数据点，插值结果可能不准确。此外，插值法的选择应根据具体问题和数据特点进行，以获得最佳的插值效果。在理论上，插值多项式确实会经过已知数据点，这是插值方法的基本原理。

1.1 插值法分类

数值分析中的插值方法可以根据不同的特点和应用进行分类。以下是几种常见的插值方法分类：

1. 代数多项式插值方法：
   • Lagrange插值：通过构造一个线性多项式，使其通过所有的数据点。
   • Newton插值：利用差商的概念，通过计算差商来优化插值结果。
   • Hermite插值：通过给定数据点的函数值和导数值，构造一个插值多项式。
2. 分段插值方法：
   • 分段线性插值：使用低次分段函数来插值两个数据点。
   • 分段抛物插值：使用二次多项式来插值三个数据点。
   • 分段三次Hermite保形插值：在分段点处连续可导的前提下，使用三次Hermite插值来插值相邻的数据点。
   • 三次样条插值：使用二阶导数连续的插值曲线来插值数据点。
3. 其他插值方法：
   • 逆距离加权插值：根据数据点之间的距离和权重来插值未知点的值。
   • 样条插值：使用分段函数来逼近数据点，保证插值曲线的光滑性和连续性。

说明：

• 基于代数多项式的插值方法得到的插值多项式的相同的，（只有唯一的多项式函数过给定点）。

1.2 代数多项式插值法与范德蒙德矩阵

$n$ 次插值多项式存在且唯一
以三阶为例，插值多项式过点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ 有：
$$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_1^2\\ y_2=a_0+a_1{x}_2+a_2{x}_2^2\\ y_3=a_0+a_1{x}_3+a_2{x}_3^2\end{array}$$
[ 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 3 ] [ a 0 a 1 a 2 ] = [ y 1 y 2 y 3 ] \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0\\a_1\\a_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{bmatrix} ​111​x1​x2​x3​​x12​x22​x33​​ ​ ​a0​a1​a2​​ ​= ​y1​y2​y3​​ ​
求解系数向量，相当于在求解范德蒙德矩阵转置的线性方程组，由于插值多项式唯一，我们可以直接通过多项式插值来得到该线性方程组的解，但由于龙格现象，范德蒙德矩阵次数较高（大于 $9$ ）后会出现较大的误差。

1.3 插值法比较

多项式拉格朗日插值：
整体性好，光滑性好（无穷阶连续），但不一定收敛（龙格现象）。
分段多项式拉格朗日插值：
局部性好，光滑性差（折线），收敛性保证。
分段多项式Hermite插值：
局部性好，满足一定光滑性，收敛性保证，但需要导数值信息。
样条插值：
局部性好，满足一定光滑性，收敛性保证，只需要函数值信息。

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2. Lagrange拉格朗日插值

2.1 拉格朗日插值基函数

1. 有几个节点就有几个插值基函数
2. $l_{in}x$，$i=0,1,2\cdots ,n$ 有 $n$ 个乘积因子， $n+1$ 个插值基函数
3. 每个基函数因子项的分母为 $i$ 对应的节点 $x_i$ 减去其他所有节点，分子结构相同，把 $x_i$ 换成 $x$
   $$l_i(x)=\prod _{k=0,k\ne i}^n\frac{(x-x_k)}{(x_i-x_k)}$$

[!example]-
$$\begin{array}{cccc}x|& -1& 2& 5\\ y|& 3& 6& 8\end{array}$$
求所有lagrange插值基函数。
解：
$$\begin{array}{rl}{l}_0=& \frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_0-x_2}=\frac{(x-2)(x-5)}{(-1-2)(-1-5)}\\ & \\ l_0=& \frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot \frac{x-x_2}{x_1-x_2}=\frac{(x+1)(x-5)}{(2+1)(2-5)}\\ & \\ l_0=& \frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{(x+1)(x-2)}{(5+1)(5-2)}\end{array}$$

定义上，有
$$l_k(x_i)=\{\begin{array}{l}1,i=k\\ 0,i\ne k\end{array}$$

2.2 拉格朗日插值多项式

插值多项式为基函数的线性组合：
$$p(x_i)=\sum _{j=0}^n{a}_j{l}_j(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots ,n$$
由 $l_k(x)$ 的性质有 $a_i=y_i$，代入上式得到的公式为拉格朗日插值多项式
$$L_n(x)=\sum _{j=0}^n{y}_j{l}_j(x)=\sum _{j=0}^n{y}_j\prod _{i=0,i\ne j}^n\frac{(x-x_i)}{(x_j-x_i)}$$

[!example]-
仍以之前的例子为例
$$L_2(x)=3\cdot \frac{(x-2)(x-5)}{(-1-2)(-1-5)}+6\cdot \frac{(x+1)(x-5)}{(2+1)(2-5)}+8\cdot \frac{(x+1)(x-2)}{(5+1)(5-2)}$$

2.3 插值余项定理

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 $n+1$ 阶导数，则有
$$\begin{array}{rl}{R}_n(x)=& f(x)-L_n(x)\\ & \\ =& \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(x)\end{array}$$

[!example]-
$f(x)=\sin x$ 的取值表如下，求插值余项，求 $\sin 0.35=?$，此时误差（限）多少？
$$\begin{array}{cccc}x|& 0.3& 0.4& 0.5\\ y|& y_0& y_1& y_2\end{array}$$
解：
$$\begin{array}{rl}{R}_n(x)=& \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(x),n=2\\ & \\ =& \frac{-\sin \xi }{6}\cdot (x-0.3)(x-0.4)(x-0.5)\end{array}$$
使用一次拉格朗日插值，$n=1$
$$L_1(x)=y_0\cdot \frac{x-0.4}{0.3-0.4}+y_1\cdot \frac{x-0.3}{0.4-0.3}\approx f(x)$$
$$L_1(0.35)\approx \cdots$$
$$\begin{array}{rl}{R}_1(x)=& \frac{-\sin \xi }{2}\cdot (x-0.3)(x-0.4),0.3\le \xi \le 0.4\\ & \\ R_1(0.35)=& \cdots (\xi )\le \cdots (\text{误差限})\end{array}$$

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3. 牛顿插值

3.1 差商表

[! example]-
$$\begin{array}{cccc}x|& -1& 2& 5\\ y|& 3& 6& 8\end{array}$$
$$\begin{array}{cccc}x& y=f(x)& \text{一阶差商}& \text{二阶差商}\\ -1& 3& f[x_0,x_1]& f[x_0,x_1,x_2]\\ 2& 6& f[x_1,x_2]& \\ 5& 8& & \end{array}$$
$$f[x_0.x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0},f[x_1,x_2]=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1.x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$$

同济自己编的教材和市面上其他教材对差商的定义看起来不太一样，但实际上是等价的。 $k$ 阶差商定义如下
$$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\frac{f[x_1,\cdots ,x_{k-1},x_k]-f[x_0,\cdots ,x_{k-2},x_{k-1}]}{x_k-x_0}$$
差商的性质如下：

1. 差商可以表示为函数值的线性组合
   $$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\sum _{j=0}^k\frac{f(x_j)}{(x_j-x_0)\cdots (x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots (x_j-x_k)}$$
2. 差商关于所含节点是对称的，交换次序差商不变
   $$f[x_0,\cdots ,x_i,\cdots ,x_j,\cdots ,x_k]=f[x_0,\cdots ,x_j,\cdots ,x_i,\cdots ,x_k]$$
3. 差商和导数的关系
   $$f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!},\xi \in (a,b)$$

3.2 牛顿插值公式

$$\begin{array}{rl}{N}_n(x)=& f(x_0)+f[x_0,x_1]\cdot (x-x_0)\\ & \\ & +f[x_0,x_1,x_2]\cdot (x-x_0)(x-x_1)\\ & \\ & +f[x_0,x_1,x_2,x_3]\cdot (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots \end{array}$$

3.3 牛顿插值余项

$$R_n(x)=f(X)-N_n(X)=f[x_0,x_1,\cdots ,x_n,x]\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$