天目春辉
天目春辉

高中数学 2021-08-28

2021-08-28-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P025 例1）

如图,切的边、、于、、.求证:、、必交于一点,则.

图1

证明

由切线性质,可设,,,则

,

由ceva定理逆定理知,、、共点.

考虑直线截,由梅氏定理有

\dfrac{AC^{\prime}}{C^{\prime}B}\cdot \dfrac{BC}{CA^{\prime}}\cdot \dfrac{A^{\prime}Q}{QA}=\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{y+z}{z}\cdot \dfrac{A^{\prime}Q}{QA}=1\Rightarrow\dfrac{A^{\prime}Q}{QA}=\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}.

所以.

同理,.

故

注这一点通常称之为“切心”.

2021-08-28-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P025 例2）

求证

当为三角形外心时,则.

证明

图2

设的外心为,如图,连结交于,交外接圆于,连结交于.

由共边定理可得

\begin{aligned} \frac{B D}{C D} &=\frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A C D}} \\ &=\frac{A B \cdot A D \sin \angle B A D}{A C \cdot A D \sin \angle C A D} \\ &=\frac{2 R \sin C}{2 R \sin B} \cdot \frac{\sin \angle B A D}{\sin \angle C A D} \\ &=\frac{2 \sin C}{2 \sin B} \cdot \frac{\sin \angle B C E}{\sin \angle C B E} \\ &=\frac{\sin 2 C}{\sin 2 B} . \end{aligned}

同理可得.

所以,

.

在中由梅涅劳斯定理可得:

\begin{aligned} &\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B C}{C D} \cdot \frac{D O}{O A}=1 \\ &\Rightarrow \frac{D O}{O A}=\frac{F B}{A F} \cdot \frac{C D}{B C} \\ &=\frac{\sin 2 A}{\sin 2 B} \cdot \frac{\sin 2 B}{\sin 2 B+\sin 2 C} \\ &=\frac{\sin 2 A}{\sin 2 B+\sin 2 C} \end{aligned}

过作,,则由三角形相似可知

,.

因为,

又,

所以.

故.

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