高中数学 2021-08-28

2021-08-28-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P025 例1）

如图,切的边、、于、、.求证:、、必交于一点,则.

图1

证明

由切线性质,可设,,,则

,

由ceva定理逆定理知,、、共点.

考虑直线截,由梅氏定理有

.

所以.

同理,.

故

注这一点通常称之为“切心”.

2021-08-28-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P025 例2）

求证

当为三角形外心时,则.

证明

图2

设的外心为,如图,连结交于,交外接圆于,连结交于.

由共边定理可得

同理可得.

所以,

.

在中由梅涅劳斯定理可得:

过作,,则由三角形相似可知

,.

因为,

又,

所以.

故.