中华古老的算法：盈不足术

中华古老的算法：盈不足术

中华古老的算法：盈不足术源于《九章算术》第七章。盈不足术中 “盈”就是“多”的意思，“不足”就是“少”的意思，因此盈不足术是在解决“盈亏类”问题。盈不足问题，也被称为“盈亏问题”。

中华古老的算法：盈不足术源于《九章算术》第七章。盈不足术中 “盈”就是“多”的意思，“不足”就是“少”的意思，因此盈不足术是在解决“盈亏类”问题。盈不足问题，也被称为“盈亏问题”。

盈亏问题最早见于中国的《九章算术》第七章，书中原文为：“今有(人)共买物，人出八，盈三;人出七，不足四；问人数物价各几何。”

意思是说：有几个人共同出钱买东西，每人出8元则多3元，若每人出7元则少4元，求人数和物价。

把一定数量的物品平均分给一定数量的人，已知两次分配一次有余，一次不足，求物品总量和人数。它的基本公式：

所求人数 = (盈+亏)÷(两次每人分配数的差)

古代数学家给出的解法是文字说明比较难懂。现在，用现代代数方法列方程解释一下公式。

有几个人共同出钱买东西，每人出m元多a元，每人出n元少b元。求人数和物价。

假设人数为x，列等式方程：

xn-b = xm+a

x=(a+b) ÷(n-m)

所求人数 = (3+4)÷(8-7)=7(人)；

物价 = 7×7+4=53(元)

或

物价 = 7×8-3=53(元)

盈不足术的方法在解答应用题中，有其应用的广泛性。它既给出了线性问题的精确解，又给出了非线性问题的近似解，有人称为是中国古代算法中的“万能”的解题方法。灵活使用，可以解决许多问题。下面举几个例子。

☆有一批饲料，如果卖掉75只鸡饲料够20天用，买进100只鸡饲料够用15天，问原来有多少只鸡？

可以这样思考:吃20天，少75×20份。吃15天，多100×15份。

(75×20+100×15) ÷(20-15)=600 （只）

☆如果每千克苹果卖2.4元，他就赔 4 元；如果每千克卖 3 元，就可赚 8 元。现在想快些出手保本不亏，问：每千克苹果应卖多少元？

可以这样思考:(8＋4）÷（3－2.4）＝12÷0.6＝20（千克）成本：20×3－8＝60－8＝52（元）每千克苹果应卖：52÷20＝2.6（元）

☆有一群人租船游湖。若每条船乘10人，还多2个座位；若每条船多坐2人，可少租一条船，每人可节省5角钱。租一条船需要多少钱？

我们可以这样思考:都按现有船只计算,每船10人,少2人,每船多坐2人,少2+10=12人

船:(12-2)÷2=5只,人数:5×10-2=48人,租一只船需要:48×0.5=24元,一共48人,每人节省0.5元,一共节省48×0.5=24元,节省这24元,是因为少租了一只船,所以租一只船需要24元。

小结：有一些应用题，从表面看起来似乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后，也可变成盈亏问题进行解答。