离散数学 第一章 命题逻辑 1-1 命题及其表示法

在数理逻辑中，为了表达概念，陈述理论和规则，常常需要应用语言进行描述，但是日常使用的自然语言进行描述，往往叙述时不够确切，也易产生二义性，因此就需要引入一种目标语言，这种目标语言和一些公式符号，就形成了数理逻辑的形式符号体系。所谓目标语言就是表达判断的一些语言的汇集，而判断就是对事物有肯定或否定的一种思维形式，因此能表达判断的语言事故陈述句，它称作命题。一个命题，总是具有一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，记作true（真）和false（假），分别用符号t和f表示。只有具有确定真值的陈述句才是命题，一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句，疑问句，祈使句等都不能作为命题。命题有两种类型：第一种类型是不能分解为更简单的陈述语句，称作原子命题；第二种类型是有联结词，标点符号和原子命题复合构成的命题，称作复合命题。所有这些命题，都应具有确定的真值。

下面给出实例，说明命题的概念。
(1)中国人民是伟大的。
(2) 雪是黑的。
(3) 1+101=110}
(4) 别的星球上有生物。
(5) 全体立正！
(6) 明天是否开会？
(7) 天气多好啊！
(8) 我正在说谎。
(9) 我学英语，或者我学日语。
(10) 如果天气好，那么我去散步。

在上面这些例子中，（1）、（2）、（4）、（9）、（10）是命题。其中（9）、（10）是复合命题，（4）在目前可能无法决定真值，但从事物的本质而论，它本身是有真假可言的，所以我们承认这也是一个命题。（5）、（6）、（7）都不是命题。（8）是悖论。（3）在二进制中为真，在十进制中为假，故需根据上下文才能确定真值。

在数理逻辑中，我们将使用大写字母a，b，…，p，q，…或用带下标的大写字母或用数字，如ai，[12]等表示命题，例如

                   p：今天下雨。

                   p可表示“今天下雨”这个命题的名。

亦可用数学表示命题，例如

                   [12]：今天下雨。

     表示命题的符号称为命题标识符，p和[12]就是标识符。

一个命题标识符如表示确定的命题，就称为命题常量，如果命题标识符只表示任意命题的位置标志就称为命题变元。因为命题变元可以表示任意命题，所以不能确定真值，故命题变元不是命题。当命题变元p用一个特定命题取代时，p才能确定真值，这时也称对p进行指派。当命题变元表示原子命题时，该变元称为原子变元。