小结：动态规划

概要：

状态、转移；最优子结构、无后效性。

技巧及注意：

dp就是纯经验+智商题

在dp方程写出来后，一定要考虑边界！不要以为转移对了就行了！

滚动数组的话一定要考虑好顺序！

下标有时候可以灵活使用！比如mod意义下的dp，倍数什么、可到达性等题目都可以这样做。

如果是线性序列的max{f[k]},k<i这种可以用线段树或bit维护成log或者斜率优化或者决策单调用单调栈

注意“前i”和“第i”的区别（特别对于答案更新），有时换一种就能解答出问题。

在状态加限制条件，如单调、地址等。

用下标来维护下标这个答案是否可达。

博弈论dp可以设当前最优然后后手就是sum-这个前个状态。

与上一个状态或下一个状态有关，可以开一维或多维来维护上个状态或下个状态的信息。

在计数时，一定要保证自己设的状态是不重不漏的！或者能用容斥搞的！

绝对值的最小/最大我们可以用背包。

一切有顺序的dp一定要考虑循环方向！就像状压dp的|运算话如果不分层，那么一定要从大往小循环

 

例题：

线性dp（usaco及以上非省选题请神犇无视...>_<）：

1. 最长公共上升子序列（不要看我自己的解释QAQ）
2. LIS+LCS+LCIS
3. 【BZOJ】1003: [ZJOI2006]物流运输trans（SPFA+DP）
4. 【BZOJ】3039: 玉蟾宫（DP/单调栈）
5. 【wikioi】1403 新三国争霸（dp+kruskal）
6. 【BZOJ】1600: [Usaco2008 Oct]建造栅栏（dp）
7. 【BZOJ】1613: [Usaco2007 Jan]Running贝茜的晨练计划（dp）
8. 【BZOJ】1616: [Usaco2008 Mar]Cow Travelling游荡的奶牛（dp/-bfs）
9. 【BZOJ】1669: [Usaco2006 Oct]Hungry Cows饥饿的奶牛（lis）（主要是lower_bound)
10. 【BZOJ】1609: [Usaco2008 Feb]Eating Together麻烦的聚餐（dp+被坑）
11. 【BZOJ】1642: [Usaco2007 Nov]Milking Time 挤奶时间（dp）
12. 【BZOJ】1643: [Usaco2007 Oct]Bessie's Secret Pasture 贝茜的秘密草坪（dp）
13. 【BZOJ】1638: [Usaco2007 Mar]Cow Traffic 奶牛交通（dfs+dp）
14. 【BZOJ】1633: [Usaco2007 Feb]The Cow Lexicon 牛的词典（dp）
15. 【BZOJ】1672: [Usaco2005 Dec]Cleaning Shifts 清理牛棚（dp/线段树）（数据结构进入dp维护）
16. 【BZOJ】1652: [Usaco2006 Feb]Treats for the Cows（dp）
17. 【BZOJ】1664: [Usaco2006 Open]County Fair Events 参加节日庆祝（线段树+dp）
18. 【BZOJ】1630: [Usaco2007 Demo]Ant Counting（裸dp/dp/生成函数）
19. 【BZOJ】3400: [Usaco2009 Mar]Cow Frisbee Team 奶牛沙盘队（dp）
20. 【BZOJ】2101: [Usaco2010 Dec]Treasure Chest 藏宝箱（dp）
21. 【BZOJ】2017: [Usaco2009 Nov]硬币游戏（dp+神题+博弈论）
22. 【BZOJ】3315: [Usaco2013 Nov]Pogo-Cow（dp）
23. 鹰蛋实验（递归定义）
24. 带*号的公共字串匹配
25. 【noip模拟题】迎接仪式（dp+特殊的技巧）（很神的题，将约束拆成两个状态）
26. 【BZOJ】1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（dp+斜率优化）（第一题斜率优化）
27. 【BZOJ】1046: [HAOI2007]上升序列（dp）（lis字典序）
28. 【BZOJ】1044: [HAOI2008]木棍分割（二分+dp）（找出答案后再用答案对dp进行约束...）
29. 【BZOJ】1009: [HNOI2008]GT考试（dp+矩阵乘法+kmp+神题）（神题...写出dp方程后发现每个阶段的转移都是一模一样的！于是可以转换成矩阵然后做乘法加速！）
30. 【BZOJ】1037: [ZJOI2008]生日聚会Party（递推+特殊的技巧）（又是神题...我们将约束放得更广一些...将更多的约束条件放入状态中）
31. 【BZOJ】1096: [ZJOI2007]仓库建设（dp+斜率优化）（可以说是真正理解斜率优化？）
32. 【BZOJ】1068: [SCOI2007]压缩（dp）（转换一下将条件放入状态即可）
33. 【BZOJ】1079: [SCOI2008]着色方案（dp+特殊的技巧）（神题！没想到状态还能这样压缩！其实就是将等价的东西变成一个状态就行了）
34. 【BZOJ】1090: [SCOI2003]字符串折叠（dp）（随便搞搞就行了）
35. 【BZOJ】1049: [HAOI2006]数字序列（lis+特殊的技巧）（lis+神做法！好神的题！）
36. 【BZOJ】1055: [HAOI2008]玩具取名（dp）（多想想就能想出状态了）

背包dp：

1. 背包模版
2. 【BZOJ】1618: [Usaco2008 Nov]Buying Hay 购买干草（dp）
3. 【BZOJ】1677: [Usaco2005 Jan]Sumsets 求和（dp/规律）
4. 【BZOJ】1649: [Usaco2006 Dec]Cow Roller Coaster（dp）
5. 【BZOJ】1673: [Usaco2005 Dec]Scales 天平（dfs背包）
6. 【BZOJ】2021: [Usaco2010 Jan]Cheese Towers（dp）
7. 寂寞的程序员

环形dp：拆成3部分（或两部分）线性dp即可。

树形dp：

1. 【wikioi】1029 遍历问题
2. 【BZOJ】1040: [ZJOI2008]骑士（环套树dp）
3. 【BZOJ】1596: [Usaco2008 Jan]电话网络（树形dp+特殊的技巧）
4. 【BZOJ】1827: [Usaco2010 Mar]gather 奶牛大集会（树形dp）
5. 【BZOJ】2060: [Usaco2010 Nov]Visiting Cows 拜访奶牛（树形dp）
6. 【vijos】1770 大内密探（树形dp+计数）（不重不漏的设计状态是关键）
7. 【vijos】1892 树上的最大匹配（树形dp+计数）
8. 【BZOJ】2435: [Noi2011]道路修建（树形dp）（很水的noi题...）

状压dp：

1. 【BZOJ】1087: [SCOI2005]互不侵犯King（状压dp）
2. 【wikioi】2800 送外卖（状压dp+floyd）
3. 【BZOJ】1076: [SCOI2008]奖励关（状压dp+数学期望）
4. 【BZOJ】1688: [Usaco2005 Open]Disease Manangement 疾病管理（状压dp）
5. 【vijos】1286 座位安排（状压dp）
6. 驴友（状压出所有状态然后预处理状态之间的关系再用最短路）
7. 【UVa】Headmaster's Headache（状压dp）（一定要注意状压的方向...）
8. 【BZOJ】1072: [SCOI2007]排列perm（状压dp+特殊的技巧）（以后永远记住，小数据优先想到状压...）
9. 【BZOJ】1097: [POI2007]旅游景点atr（spfa+状压dp）（去掉一些无用状态就用记忆化搜索...）

数位dp（注意front和line的情况，line一定要并上！）：

1. 【BZOJ】1662: [Usaco2006 Nov]Round Numbers 圆环数（数位dp）
2. 【BZOJ】1026: [SCOI2009]windy数（数位dp）
3. 【BZOJ】1833: [ZJOI2010]count 数字计数（数位dp）

递推（计数时一定要小心啊）：

1. noip 模拟赛 After 17（递推+特殊的技巧），电站问题（升格思想）
2. 错排公式（D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]）
3. Stirling数（第一类：s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)*s(n-1,k)；第二类：S(n,k)=S(n−1,k−1)+k*S(n−1,k)）
4. 【BZOJ】1089: [SCOI2003]严格n元树（递推+高精度/fft）（减法原理运用得好神）