关于一些简单典型的动态规划

1.最大连续子序列之和

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个， 例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。

状态转移方程： sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])

代码清单：

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1. #include "stdio.h"  
2.   
3. main(){  
4.     int i,sum = 0, max = 0;  
5.     int data[] = {  
6.         1,-2,3,-1,7  
7.     };  
8.     for(i = 0; i < sizeof(data)/sizeof(data[0]); i++){  
9.         sum += data[i];  
10.         if(sum > max)  
11.             max = sum;  
12.         if(sum < 0)  
13.             sum = 0;          
14.     }  
15.     printf("%d",max);  
16. }  

2.数塔问题

数塔问题 ：要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

转移方程：sum[i] = max(a[左孩子] , a[右孩子]) + a[i]

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1. #include "stdio.h"  
2. #define N 5  
3. main(){  
4.     int i,j;  
5.     int data[N][N] = {  
6.             {9,0,0,0,0},  
7.             {12,15,0,0,0},  
8.             {10,6,8,0,0},  
9.             {2,18,9,5,0},  
10.             {19,7,10,4,16}  
11.         };  
12.         for(i = N-1; i > 0; i--)  
13.             for(j = 0; j < i; j++)  
14.                 data[i-1][j] += data[i][j] > data[i][j+1] ? data[i][j] : data[i][j+1];  
15.           
16.         printf("%d",data[0][0]);  
17.           
18.           
19. }  

3.01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]

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1. #include "stdio.h"  
2. #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))  
3.   
4.   
5.   
6. main(){  
7.       
8.     int v = 10 ;    
9.     int n = 5 ;      
10.        
11.     int value[] = {0, 8 , 10 , 4 , 5 , 5};       
12.     int weight[] = {0, 6 , 4 , 2 , 4 , 3};     
13.     int i,j;      
14.     int dp[n+1][v+1];  
15.     for(i = 0; i < n+1; i++)  
16.         for(j = 0; j < v+1; j++)  
17.             dp[i][j] = 0;  
18.   
19.   
20.     for(i = 1; i <= n; i++){  
21.         for(j = 1; j <= v; j++){  
22.             if(j >= weight[i])  
23.                 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);  
24.             else  
25.                 dp[i][j] = dp[i-1][j];  
26.         }  
27.     }  
28.   
29.     printf("%d",dp[n][v]);  
30. }  

4.最长递增子序列(LIS)

给定一个序列 A_n = a₁ ,a₂ ,  ... , a_n ，找出最长的子序列使得对所有 i < j ，a_i < a_j 。

转移方程：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);

代码清单：

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1. #include "stdio.h"  
2.   
3. main(){  
4.     int i,j,length,max=0;  
5.     int a[] = {  
6.         1,-1,2,-3,4,-5,6,-7  
7.     };  
8.     int *b;  
9.     b = (int *)malloc(sizeof(a));  
10.     length = sizeof(a)/sizeof(a[0]);  
11.   
12.     for(i = 0; i < length; i++){  
13.         b[i] = 1;  
14.         for(j = 0; j < i; j++){  
15.             if(a[i] > a[j] && b[i] <= b[j]){  
16.                 b[i] = b[j] + 1;  
17.             }  
18.         }  
19.     }  
20.     for(i = 0; i < length; i++)  
21.         if(b[i] > max)  
22.             max = b[i];  
23.           
24.     printf("%d",max);  
25. }  

5.最长公共子序列(LCS)

一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

转移方程：

dp[i,j] = 0                                          i=0 || j=0

dp[i,j] = dp[i-1][j-1]+1                        i>0,j>0, a[i] = b[j]       

dp[i,j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])        i>0,j>0, a[i] != b[j]

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1. #include "stdio.h"  
2. #define M 8  
3. #define N 6  
4.   
5.           
6. void printLSC(int i, int j,char *a, int status[][N]){  
7.     if(i == 0 || j== 0)  
8.         return;  
9.     if(status[i][j] == 0){  
10.         printLSC(i-1,j-1,a,status);  
11.         printf("%c",a[i]);  
12.     }else{  
13.         if(status[i][j] == 1)  
14.             printLSC(i-1,j,a,status);  
15.         else  
16.             printLSC(i,j-1,a,status);  
17.     }  
18. }  
19. main(){  
20.     int i,j;  
21.   
22.     char a[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};  
23.     char b[] = {' ','B','D','C','B','A'};  
24.     int status[M][N]; //保存状态  
25.     int dp[M][N];  
26.   
27.     for(i = 0; i < M; i++)  
28.         for(j = 0; j < N; j++){  
29.             dp[i][j] = 0;  
30.             status[i][j] = 0;  
31.         }  
32.               
33.     for(i = 1; i < M; i++)  
34.         for(j = 1; j < N; j++){  
35.             if(a[i] == b[j]){  
36.                 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;  
37.                 status[i][j] = 0;  
38.             }  
39.             else if(dp[i][j-1] >= dp[i-1][j]){  
40.                 dp[i][j] = dp[i][j-1];  
41.                 status[i][j] = 2;  
42.             }  
43.             else{  
44.                 dp[i][j] = dp[i-1][j];  
45.                 status[i][j] = 1;  
46.             }  
47.                   
48.                   
49.         }  
50.     printf("最大长度：%d",dp[M-1][N-1]);  
51.     printf("\n");  
52.     printLSC(M-1,N-1,a,status);  
53.     printf("\n");  
54.   
55. }