二维图形的几何变换

 以下这篇文章是我学习计算机图形学时在网上搜到的资料，贴到我的博客中以备忘，原文在http://course.cug.edu.cn/21cn/%BC%C6%CB%E3%BB%FA%CD%BC%D0%CE%D1%A7/Chapter6/CG_Txt_6_011.htm。

 二维图形的几何变换

    正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是： 
                  
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。
1）平移变换 


2）缩放变换 


3）旋转变换



4）对称变换

对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：

1. 当b=d=0，a=-1，e=1时有x^´=-x，y^´=y，产生与y轴对称的图形。

2. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x^´=x，y^´=-y，产生与x轴对称的图形。

3. 当b=d=0，a=e=-1时有x^´=-x，y^´=-y，产生与原点对称的图形。

4. 当b=d=1，a=e=0时有x^´=y，y^´=x，产生与直线y=x对称的图形。

5. 当b=d=-1，a=e=0时有x^´=-y，y^´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

5）错切变换

• 当d=0时，x^´=x+by，y^´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值  （x，y）及变换系数b作线性变化。

• 当b=0时，x^´=x，y^´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值  （x，y）及变换系数d作线性变化。

 

6）复合变换

 

 

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：

• 复合平移

  对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：

1. 复合缩放

   两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：

   

2. 复合旋转

   两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（x_f，y_f）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（x_f，y_f）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。

3. 关于（x_f，y_f）点的缩放变换

   

   

4. 绕（x_f，y_f）点的旋转变换