高精度计算(2015.8.1)
c++中，变量的大小是有限制的。
比如int是 -2147483648~2147483647
long long是-9223372036854775808~18446744073709551615
然而他们都有一个范围，如果数据过大，就会出现错误。这时，我们需要高精度计算。
同过数组来存储各位上的情况，模拟计算加减乘除。
首先，我们定义一个叫做bigNumber的类
class bigNumber{ };
然后，在里面声明一个整数数组（1000位）
int num[1001];
其中，num[0]保存该数位数，num[i]表示对应数位上的数
数据的存储方式为(以13为例)
| num | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 数值 | 2 | 1 | 3 | 0 |
| 备注 | 位数 | 个位 | 十位 | 百位 |
接着，我们要定义构造函数来初始化它
要注意，构造函数本身被调用是没什么琴里用的，可以再写一个初始化函数，然后在构造函数里调用它，但需要初始化时，调用初始化函数，而不是构造函数
bigNumber(){//初始化
init();
}
void init(){
memset(num,0,sizeof(num));
}
然后，就是一些基本的功能的实现
bigNumber operator = (const bigNumber& rhs){ init(); REP(rhs.num[0]+1)num[o]=rhs.num[o]; return *this; } bigNumber operator = (long long rhs){ init(); int i=1; while(rhs){ num[i]=rhs%10; rhs/=10; i++; } num[0]=i-1; return *this; } bool operator < (const bigNumber rhs)const{ if(num[0]!=rhs.num[0])return (num[0]<rhs.num[0]); REP(num[0]){ int temp=num[0]-o; if(num[temp]!=rhs.num[temp])return (num[temp]<rhs.num[temp]); } return 0; } bool operator > (const bigNumber rhs)const{ if(num[0]!=rhs.num[0])return (num[0]>rhs.num[0]); REP(num[0]){ int temp=num[0]-o; if(num[temp]!=rhs.num[temp])return (num[temp]>rhs.num[temp]); } return 0; } bool operator == (const bigNumber rhs)const{ return !(*this>rhs||*this<rhs); } bool operator <= (const bigNumber rhs)const{ return *this<rhs||*this ==rhs; }
这些都是比较容易实现的，不详细说明了
而四则运算则相对更为复杂
首先是加法
我们先来看一下我们自己是如何计算加法的。
例如5135+139
1.对齐数位 5 1 3 5
+ 1 3 9
2.从低位开始加，当低位相加后大于9时，把较大数加到下一位上
而且，我们可以知道，即使是9+9也才等于18。也即计算后，和的位数最多比加数的位数多1
bigNumber operator + (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp; int len; len=num[0]>rhs.num[0]?num[0]:rhs.num[0]; len++;//两数相加，位数最多比较大的位数多1 REP(len){ temp.num[o+1]+=num[o+1]+rhs.num[o+1]; temp.num[o+2]+=temp.num[o+1]/10; temp.num[o+1]%=10; } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; }
而乘法相似，只是是乘数相乘加上进位(乘数与乘数各数位都要乘一次)
5 1 3 5
× 1 3 9
4 6 2 1 5
1 5 4 0 5
5 1 3 5
7 1 3 7 6 5
bigNumber operator * (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp; int len; len=num[0]+rhs.num[0]; //len++; for(int i=1;i<=num[0];i++){ for(int j=1;j<=rhs.num[0];j++){ temp.num[i+j-1]+=num[i]*rhs.num[j]; temp.num[i+j]+=temp.num[i+j-1]/10; temp.num[i+j-1]%=10; } } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; }
而减法和除法则较为麻烦
首先，本高精度计算不考虑负数情况，不过负数也并不难写，可以再加上一个bool来储存是否为负数
不管减数和被减数谁大，都应该是绝对值大的减去绝对值小的（符号相同）
与加法不同，减法存在借数。不过如果不管需不需要借都借一下，然后如果结果是两位数再进上去更便于书写
模仿加法稍加修改
bigNumber operator - (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp,a,b; temp=Max(*this,rhs); b=Min(*this,rhs); a=temp; temp=0; int len=a.num[0]; REP(len){ temp.num[o+1]+=10+a.num[o+1]-b.num[o+1]; temp.num[o+2]--; temp.num[o+2]+=temp.num[o+1]/10; temp.num[o+1]%=10; } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; }
除法是最难写的一部分了，因为牵扯到试商的问题
我们先来理解一下除法的计算过程（以11311÷12为例）
1.首先，从被除数的最高位开始除有1÷12=0······1
2.余数乘10加上被除数的下一位11÷12=0······11
3.余数乘10加上被除数的下一位113÷12=9······5
4.余数乘10加上被除数的下一位51÷12=4·····3
5.余数乘10加上被除数的下一位31÷12=2·····7
得到答案11311÷12=942······7
| a | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 值 | 5 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
从右向左读数，分别计算
bigNumber operator / (const bigNumber rhs)const{ bigNumber a; int it=num[0]; bigNumber d; bigNumber c; while(it>0){ a=(d*10)+num[it]; c=c*10; int t; REP(9){ if(a < rhs * (o+1)){ t=o; break; } t=9; } c=c+t; d=a-rhs*t; it--; } return c; }
改一个字母，就成了取余
bigNumber operator % (const bigNumber rhs)const{ bigNumber a; int it=num[0]; bigNumber d; bigNumber c; while(it>0){ a=(d*10)+num[it]; c=c*10; int t; REP(9){ if(a < rhs * (o+1)){ t=o; break; } t=9; } c=c+t; d=a-rhs*t; it--; } return d; }
然后是输出函数
void p(){ REP(num[0]){ printf("%d",num[num[0]-o]); } }
附上笔记
以下是完整的bigNumber类
class bigNumber{ private: int num[1001]; public: bigNumber(){ init(); } void init(){ memset(num,0,sizeof(num)); } bigNumber operator = (const bigNumber& rhs){ init(); REP(rhs.num[0]+1)num[o]=rhs.num[o]; return *this; } bigNumber operator = (long long rhs){ init(); int i=1; while(rhs){ num[i]=rhs%10; rhs/=10; i++; } num[0]=i-1; return *this; } bool operator < (const bigNumber rhs)const{ if(num[0]!=rhs.num[0])return (num[0]<rhs.num[0]); REP(num[0]){ int temp=num[0]-o; if(num[temp]!=rhs.num[temp])return (num[temp]<rhs.num[temp]); } return 0; } bool operator > (const bigNumber rhs)const{ if(num[0]!=rhs.num[0])return (num[0]>rhs.num[0]); REP(num[0]){ int temp=num[0]-o; if(num[temp]!=rhs.num[temp])return (num[temp]>rhs.num[temp]); } return 0; } bool operator == (const bigNumber rhs)const{ return !(*this>rhs||*this<rhs); } bool operator <= (const bigNumber rhs)const{ return *this<rhs||*this ==rhs; } bigNumber operator + (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp; int len; len=num[0]>rhs.num[0]?num[0]:rhs.num[0]; len++; REP(len){ temp.num[o+1]+=num[o+1]+rhs.num[o+1]; temp.num[o+2]+=temp.num[o+1]/10; temp.num[o+1]%=10; } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; } bigNumber operator + (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 + temp2; } bigNumber operator * (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp; int len; len=num[0]+rhs.num[0]; //len++; for(int i=1;i<=num[0];i++){ for(int j=1;j<=rhs.num[0];j++){ temp.num[i+j-1]+=num[i]*rhs.num[j]; temp.num[i+j]+=temp.num[i+j-1]/10; temp.num[i+j-1]%=10; } } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; } bigNumber operator * (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 * temp2; } bigNumber operator - (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp,a,b; temp=Max(*this,rhs); b=Min(*this,rhs); a=temp; temp=0; int len=a.num[0]; REP(len){ temp.num[o+1]+=10+a.num[o+1]-b.num[o+1]; temp.num[o+2]--; temp.num[o+2]+=temp.num[o+1]/10; temp.num[o+1]%=10; } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; } bigNumber operator - (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 - temp2; } bigNumber operator / (const bigNumber rhs)const{ bigNumber a; int it=num[0]; bigNumber d; bigNumber c; while(it>0){ a=(d*10)+num[it]; c=c*10; int t; REP(9){ if(a < rhs * (o+1)){ t=o; break; } t=9; } c=c+t; d=a-rhs*t; it--; } return c; } bigNumber operator / (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 / temp2; } bigNumber operator % (const bigNumber rhs)const{ bigNumber a; int it=num[0]; bigNumber d; bigNumber c; while(it>0){ a=(d*10)+num[it]; c=c*10; int t; REP(9){ if(a < rhs * (o+1)){ t=o; break; } t=9; } c=c+t; d=a-rhs*t; it--; } return d; } bigNumber operator % (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 % temp2; } void p(){ REP(num[0]){ printf("%d",num[num[0]-o]); } } };
以下是代测试数据的源码
#include <cstdio> #include <memory> #include <cstring> using namespace std; #define REP(n) for(int o=0;o<n;o++) #define Min(a,b) ((a)<(b))?(a):(b) #define Max(a,b) ((a)>(b))?(a):(b) class bigNumber{ private: int num[1001]; public: bigNumber(){ init(); } void init(){ memset(num,0,sizeof(num)); } bigNumber operator = (const bigNumber& rhs){ init(); REP(rhs.num[0]+1)num[o]=rhs.num[o]; return *this; } bigNumber operator = (long long rhs){ init(); int i=1; while(rhs){ num[i]=rhs%10; rhs/=10; i++; } num[0]=i-1; return *this; } bool operator < (const bigNumber rhs)const{ if(num[0]!=rhs.num[0])return (num[0]<rhs.num[0]); REP(num[0]){ int temp=num[0]-o; if(num[temp]!=rhs.num[temp])return (num[temp]<rhs.num[temp]); } return 0; } bool operator > (const bigNumber rhs)const{ if(num[0]!=rhs.num[0])return (num[0]>rhs.num[0]); REP(num[0]){ int temp=num[0]-o; if(num[temp]!=rhs.num[temp])return (num[temp]>rhs.num[temp]); } return 0; } bool operator == (const bigNumber rhs)const{ return !(*this>rhs||*this<rhs); } bool operator <= (const bigNumber rhs)const{ return *this<rhs||*this ==rhs; } bigNumber operator + (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp; int len; len=num[0]>rhs.num[0]?num[0]:rhs.num[0]; len++; REP(len){ temp.num[o+1]+=num[o+1]+rhs.num[o+1]; temp.num[o+2]+=temp.num[o+1]/10; temp.num[o+1]%=10; } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; } bigNumber operator + (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 + temp2; } bigNumber operator * (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp; int len; len=num[0]+rhs.num[0]; //len++; for(int i=1;i<=num[0];i++){ for(int j=1;j<=rhs.num[0];j++){ temp.num[i+j-1]+=num[i]*rhs.num[j]; temp.num[i+j]+=temp.num[i+j-1]/10; temp.num[i+j-1]%=10; } } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; } bigNumber operator * (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 * temp2; } bigNumber operator - (const bigNumber rhs)const{ bigNumber temp,a,b; temp=Max(*this,rhs); b=Min(*this,rhs); a=temp; temp=0; int len=a.num[0]; REP(len){ temp.num[o+1]+=10+a.num[o+1]-b.num[o+1]; temp.num[o+2]--; temp.num[o+2]+=temp.num[o+1]/10; temp.num[o+1]%=10; } REP(len){ if(temp.num[len-o]!=0){ temp.num[0]=len-o; break; } } return temp; } bigNumber operator - (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 - temp2; } bigNumber operator / (const bigNumber rhs)const{ bigNumber a; int it=num[0]; bigNumber d; bigNumber c; while(it>0){ a=(d*10)+num[it]; c=c*10; int t; REP(9){ if(a < rhs * (o+1)){ t=o; break; } t=9; } c=c+t; d=a-rhs*t; it--; } return c; } bigNumber operator / (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 / temp2; } bigNumber operator % (const bigNumber rhs)const{ bigNumber a; int it=num[0]; bigNumber d; bigNumber c; while(it>0){ a=(d*10)+num[it]; c=c*10; int t; REP(9){ if(a < rhs * (o+1)){ t=o; break; } t=9; } c=c+t; d=a-rhs*t; it--; } return d; } bigNumber operator % (const long long rhs)const{ bigNumber temp1,temp2; temp1=*this; temp2=rhs; return temp1 % temp2; } void p(){ REP(num[0]){ printf("%d",num[num[0]-o]); } } }; int main(){ bigNumber a,b; a=9; b=9; a.p(); b.p(); a=a+b; printf("\n"); a.p(); printf("\n"); a=5135;b=139; a=a*b; a.p(); printf("\n"); a=9;b=7; a=a-b; a.p(); printf("\n"); a=12;b=7; a=a-b; a.p(); printf("\n"); a=11311;b=12; a=a/b; a.p(); printf("\n"); a=11311;b=12; a=a%b; a.p(); printf("\n"); return 0; }