nyist 42一笔画问题（并查集+欧拉图）



一笔画问题

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难度： 4

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

来源

[张云聪]原创

上传者

张云聪

下面附上我ac的代码

#include <stdio.h>
int father[1001],rank[1001],degree[1001];//一个储存节点，一个储存秩的大小，一个储存度的大小
int find(int x)  //查找函数，查找根节点
{
    if(x!=father[x])
        father[x]=find(father[x]);
    return father[x];
}
void Union(int x,int y)//按秩合并，按照树的高度，就是x，y的秩，高度小的树（集合）接在高度大的树（集合）的下面
{
    int fx,fy;
    fx=find(x);
    fy=find(y);
    if(fx==fy)  return ;
    if(rank[fx]>rank[fy])
            father[fy]=fx;//合并，fx的父节点就为fy；
    else
    {
        father[fx]=fy;
        if(rank[fx]==rank[fy])
             rank[fy]++;
    }
}
int main()
{
    int t,p,q,a,b,sum,count,i;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        sum=0,count=0;
        scanf("%d%d",&p,&q);
        for(i=0;i<p;i++)//度数和秩的大小初始化为0
        {
            father[i]=i;
            rank[i]=0;
            degree[i]=0;
        }
        for(i=0; i<q; i++)
          {
              scanf("%d%d",&a,&b);
              degree[a]++;//输入一个，两边度数都要+1；
              degree[b]++;
                Union(a,b);
          }
          for(i=0;i<p;i++)
          {
              if(find(i)==i)//如果是集合的根等于自己，那要么是最大的那一个集合；要么是单独的一个集合，并且只有自己一个元素
                sum++;
              if(degree[i]%2==1)//判定度数为奇的节点
                count++;
          }
          if((count==0||count==2)&&sum==1)//根据欧拉定理
             printf("Yes\n");
          else
              printf("No\n");
    }
    return 0;
}

附：欧拉定理简介

一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。  
 ■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。   
 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。  
 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

关于欧拉图的定理
 1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；  
 2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；   
 3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当D中每个结点的入度＝出度  
 4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当D中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝±1。（起始点s的入读=出度+1，结束点t的出度=入度+1 或两个点的入读=出度）