最短路问题

最短路问题

  在加权图中，我们经常需要找出两个指定点之间的最短路，这类问题有如下两种形式：
   1、单个点到图中各个点的距离
   2、图中任意两个点之间的距离

一、 单个点到图中各个点的距离

这类题目主要有两个算法：
Bellman-Ford算法，时间复杂性为O(n3)，关于其算法的描述及其优化：

http://www.cppblog.com/Icyflame/archive/2009/05/02/81662.html

Dijkstra算法，时间复杂性为O(n2)，描述如下：

 1  Dijkstra(G, u)
 2       for  each vertex v  in  V(G)
 3          L[v]  =  ∞
 4      L[u]  =   0
 5      S  =  {u}
 6       while  S  !=  V(G)
 7          v  =  vertex  in  V(G) - S with the minimum L - value
 8          S  =  S  +  {v}
 9           for  each vertex a  in  V(G) - S
10               if  L[v]  +  w[v, a]  <  L[v]
11                  L[v]  =  L[v]  +  w[v, a]

定理：Dijkstra算法能求出u到G中其它各个点的距离最短
证明：令k表示6行迭代的次数
(1) 当k=0时，即初始化后，L[u]为0，S为{u}，显然满足如下两个条件：

• 对于在S中的任意顶点v都有L[v]为u到v的最短路的长度

• 对于不再S中的任意点v都有L[v]为u只经过S中的点到v的最短路的长度

(2) 假设k-1次迭代后，满足上述条件，对于第k次迭代时，选取vk作为加入S点。
    假设L[vk]不是从u到vk的最短路的长度，由于vk不在k-1次迭代后的S中，则根据上述条件2可知在u到vk的最短路P：u=v1,v2,…,vk，中必存在一个经过一个不在S中的点vi(不为vk)，使得v1,…,vi-1在S中，则L[vi]为u到vi的最短路得长度，则有L[vi]<u到vk的最短路的长度<L[vk]，这与算法第7行中vk的选取条件矛盾。证毕。

二、 图中任意两个点之间的距离

这类问题有个十分直观的方法，就是对每个点运行Dijkstra算法，时间复杂性为O(n3)，而且也是一个性能较好的方法。
下面是一个著名的算法—Floyd-Warshall算法，时间复杂性也是O(n3)：

 1  Warshall(G)
 2       for  i  1  to n
 3           for  j  1  to n
 4               if  vi  in  adj[vj]
 5                  d[i, j]  =  w[i, j]
 6               else
 7                  d[i, j]  =  ∞
 8       for  k  1  to n
 9           for  i  1  to n
10               for  j  1  to n
11                  d[i, j]  =  min(d[i, j], d[i, k] + d[k, j])

这个算法其实是一个动态规划的形式，令d[i, j, k]表示vi与vj经过前k个点的最短距离，则可得递归式：

d[i, j, 0] = w[i, j] 当vi与vj相邻
d[i, j, 0] = ∞ 当vi与vj不相邻
d[i, j, k+1] = min(d[i, j, k], d[i, k, k]+ d[k, j, k])