网络流24题

网络流24题

大概一个星期前小猪发给我一份网络流24题，直到昨天才开始做。

1、飞行员配对问题
二分图匹配问题，直接Hopcroft Karp即可。

2、太空飞行计划问题
题目大意是有M个实验，有N个仪器，每个实验需要一个或多个仪器，做实验有收益，购买仪器需要消耗，求收益最多的方案。
最大权闭合图问题。设源点汇点为S、T，从S向M个实验连一条容量为所得收益的有向边，N个仪器向T连一条容量为所需消耗的有向边，另外，从某个实验向所需要的仪器连一条无穷大的有向边。
求该图最小割为MinCut，设所以实验的收益为TOT，则答案为TOT-MinCut。

3、最小路径覆盖问题
对于一个有向无环图，将每个顶点X，拆成X1、X2，如果原图中有一条有向边<X,Y>，则在X1、Y2之间连一条边，答案即为原图中顶点数减去该二分图的最大匹配数。

4、魔术球问题
题目大意是给出N个柱子，在这些柱子上依次放入编号为1、2、3……的球，要求一个柱子上相邻两个数的和为完全平方数，求最多可以放置多少个球。
顺序枚举可以放入的球数，将每个数字看作一个顶点，如果i+j(i<j)为完全平方数，则从i向j连一条有向边，最终的图为有向无环图，求此图的最小路径覆盖。枚举直到ans的最小路径覆盖为N，ans+1的最小路径覆盖为N+1。

5、圆桌问题
题目大意是有N个代表团，第i个代表团有r[i]个人，有M个圆桌，第i个圆桌可容纳c[i]个人，同一个代表团的不能坐在一起，求一种安排方案。
二分图多重匹配问题。从S向N个代表团各连一条容量为r[i]的边，每个代表团向M个圆桌连一条容量为1的边，每个圆桌向T连一条容量为c[i]的边，如果网络流的最大流为代表团总人数，则存在这样的方案。

7、试题库问题
题目大意是有N道试题，共有K种类型，每道试题可能属于一个或多个类别，现要求选出M道试题，使第i种类型题数为need[i]。求一种方案。
二分图多重匹配问题。设S、S'、T，从S向S'连一条容量为M的边，从S'向每道试题连一条容量为1的边，对于试题i，如果属于类型j，则从试题i向类型j连一条容量为1边，每个类型向T连一条容量为need[j]的边。如果网络流的最大流为M，则存在这样的方案。