hdu 2829 动态规划+斜率优化

hdu 2829 动态规划+斜率优化

题目简介：

    给你一个序列A，请你把序列A分成连续K个子段，每个子段的代价是 sum(A[i]*A[j]) 其中 i < j。请问如何分组使代价最小。

    数据范围|A|,K <1000

吐槽：

    cppblog的editor可真是不咋的...  昨天弄了一下午LyX，想用XeTeX编译，结果屡屡失败。用vim写的TeX文档是可以用XeTeX编译并正确显示中文的。但是不知道为什么用LyX写就不可以.... 有没有TeX高手来指点一下啊...

解法分析：

    首先状态转移方程比较容易想到:DP[i][k]表示前i项分成了k组，那么有DP[i][k] = max(DP[j][k-1]+cost[j+1][i])对所有 j < i;

    这是一个2D/1D的方程，时间复杂度是O(n^3)，对于n = 1000来说必然超时，需要优化...

    (A[j]+...+A[i])^2 = A[j]^2 + A[j+1]^2 + ... + A[i]^2 + 2* cost[j][i]; (没有TeX写这个就是不爽啊)
    于是乎 cost[j+1][i] = ((sum[i]-sum[j])^2 - suma[i] + suma[j])/2 = -sum[i] * sum[j] + (suma[j] - sum[j]^2)/2 + (sum[i]^2 - suma[i])/2;
    终于把这个转成只和 i,j相关的表达式了， 可以斜率优化了：
    X(j) = sum[j]
    Y(j) = (suma[j] - sum[j]^2)/2 + dp[j][k-1];
    C(i) = (sum[i]^2 - suma[i])/2
    我们要求的是 dp[i][k] = -sum[j]*X(j) + Y(j) + C(i);
    移项得 Y(j) = X(j)*sum[j] + dp[i][k] - C(i) 转成了线性规划问题。 不难想到最优解一定在凸包上。
    而且X,Y是单调的，可以用栈维护凸包。斜率是单调的，可以用队列维护最优决策。
代码部分：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cassert>

using namespace std;

#define re(i,n) for(int i = 0; i< n; i++)

const int N = 1001;

typedef long long ll;

ll dp[N][N];

ll num[N],pos[N][2],sum[N],suma[N];

int Q[N];

bool cal(int p0, int p1 , ll k){

return pos[p1][1] - pos[p0][1] < k * ( pos[p1][0] - pos[p0][0]);

}

ll cross( int p0, int p1, int p2){

return (pos[p0][0] - pos[p1][0] ) * ( pos[p0][1] - pos[p2][1] ) - ( pos[p0][1] - pos[p1][1]) * ( pos[p0][0] - pos[p2][0] );

}

int main(){

int n,m ;

while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n){

re(i,n)

scanf("%lld",&num[i]);

re(i,n) sum[i] = (i == 0 ? 0 : sum[i-1]) + num[i];

re(i,n) dp[i][0] = ( i == 0 ? 0 : dp[i-1][0] + num[i] * sum[i-1]);

re(i,n) suma[i] = (i == 0 ? 0 : suma[i-1])+ num[i] * num[i];

for(int j = 1; j<=m ; j++) {

int head = 0 ,tail =0 ;

for(int i = j; i < n ; i++){

pos[i][0] = sum[i-1]; pos[i][1] = dp[i-1][j-1] + (suma[i-1] + sum[i-1]*sum[i-1])/2;

while(tail - head > 1 && cross(Q[tail-2] , Q[tail-1], i) <= 0) tail --;

Q[tail ++ ] = i;

while(tail - head > 1 && cal(Q[head], Q[head +1 ] , sum[i]) ) head ++;

dp[i][j] = pos[Q[head]][1] - pos[Q[head]][0] * sum[i] + (sum[i]*sum[i] - suma[i])/2;

}

}

cout<< dp[n-1][m] <<endl;

}

}

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cassert>
 4 using namespace std;
 5 #define re(i,n) for(int i = 0; i< n; i++)
 6 const int N = 1001;
 7 typedef long long ll;
 8 ll dp[N][N];
 9 ll num[N],pos[N][2],sum[N],suma[N];
10 int Q[N];
11 bool cal(int p0, int p1 , ll k){
12     return pos[p1][1] - pos[p0][1] < k * ( pos[p1][0] - pos[p0][0]);
13 }
14 ll cross( int p0, int p1, int p2){
15     return (pos[p0][0] - pos[p1][0] ) * ( pos[p0][1] - pos[p2][1] ) - ( pos[p0][1] - pos[p1][1]) * ( pos[p0][0] - pos[p2][0] );
16 }
17 int main(){
18     int n,m ;
19     while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n){
20         re(i,n)    
21             scanf("%lld",&num[i]);
22         re(i,n) sum[i] = (i == 0 ? 0 : sum[i-1]) + num[i];
23         re(i,n) dp[i][0] = ( i == 0 ? 0 : dp[i-1][0] + num[i] * sum[i-1]);
24         re(i,n) suma[i] = (i == 0 ? 0 : suma[i-1])+ num[i] * num[i];
25         for(int j = 1; j<=m ; j++) {
26             int head = 0 ,tail =0 ;
27             for(int i = j; i < n ; i++){
28                 pos[i][0] = sum[i-1]; pos[i][1] = dp[i-1][j-1] + (suma[i-1] + sum[i-1]*sum[i-1])/2;
29                 while(tail - head > 1 && cross(Q[tail-2] , Q[tail-1], i) <= 0) tail --;
30                 Q[tail ++ ] = i;
31                 while(tail - head > 1 && cal(Q[head], Q[head +1 ] , sum[i]) ) head ++;
32                 dp[i][j] = pos[Q[head]][1] - pos[Q[head]][0] * sum[i] + (sum[i]*sum[i] - suma[i])/2;
33             }
34         }
35         cout<< dp[n-1][m] <<endl;
36     }
37 }
38