从e看中国数学教育

从e看中国数学教育

 

我们中国的数学教材上是这样介绍自然对数的：“ 如果对数的底数是e，则称为自然对数，其中e=2.71828...，是个无理数。”我和我的同学们当时的感觉就是这个自然对数来的太不自然，反而非常别扭。虽然没做过统计，但是我想即使作为成年的我们也有至少90%的人不知道这个e为什么很自然吧。

e来自于实际的生活中，特别是在生物分裂繁殖、天文计算方面。下面举一个小例子，假设一个细胞会不断的分裂，并且从刚分裂产生到成长为一个完整的细胞需要1天。求一天后得到的细胞数。首先假设分裂周期是1天，那么一天后毫无疑问，我们会得到2个细胞；然后假设分裂周期是半天。那么1天后我们可以得到（1+1/2)*(1+1/2)=2.25个，以此类推：

分裂周期1/3天：(1+1/3)³=2.37037

分裂周期1/4天：(1+1/4)⁴=2.44140

分裂周期1/5天：(1+1/5)⁵=2.48832

分裂周期1/6天：(1+1/6)⁶=2.52162

分裂周期1/7天：(1+1/7)⁷=2.54649

分裂周期1/8天：(1+1/8)⁸=2.56578

分裂周期1/9天：(1+1/9)⁹=2.58117

继续，计算得到的数据分别是：

2.59374246

2.604199012

2.61303529

2.620600888

2.627151556

2.632878718

2.637928497

2.642414375

2.646425821

2.650034327

2.653297705

2.656263214

2.658969859

2.661450119

2.663731258

2.665836331

2.667784967

2.669593978

2.671277853

当分裂周期为1/1000000天时，一天后得到的细胞数是2.71828。是不是对这个数字很熟悉，对了，这就是e。这个分裂过程是自然界真实存在的，它代表了分类周期无限小的时候，一个成长周期后我们能得到的细胞数量，我们可以发现，这个数量随着分裂周期的减半不断变大，但是变大的速度越来越慢，并且永远也不会达到一个值，这个值就是e。其实这个也是高等数学的一个重要极限：

lim(1+1/x)^x (x--->0) = e

 这个极限在微积分领域极其重要，指数函数a^x的导数=a^xlna就是由这个极限推导出来的，导数意味着斜率，可见指数函数的斜率与这个e的关系密切。

基本初等函数中，三角反三角中一个重要的常数就是π=3.14159265.....，指数对数函数中的重要常数就是e=2.71828....，这是内存的规律，数学体系中恒定的东西。

 

另外一个例子，就是银行利息。假设你往银行存1元，年利率为100%，那么一年后你会得到2元，如果半年利率为50%，一年后你会得到2.25元；如果1/3年利率为33.3%，则一年后会得到2.37037元，不过别太高兴，即使按天盈利，一年后也就是(1+1/365)³⁶⁵= 2.714567482，永远也不会超过e。

现在你是否觉得这个e很自然了呢？

我们的教育从来不会把这些告诉你，只会让你记住这个数值是多少，根本不提数学的发展历史，不知道是老师不知道还是故意不让学生知道。另外一个更加出名的无理数就是圆周率PI了，这个数是圆周长与直径的比，听起来确实很自然，但是是怎么算出来的，却不怎么自然了。大部分人觉得很简单，就是内切多边形无限逼近法，但是我说大哥啊，你知道多边形的周长怎么计算吗？有些事情看起来简单，但是背后却很复杂，请大家思考。

另外，为什么会出现Pi和e呢，为什么是无理数呢，难道自然界是这么不简洁吗？其实不是的，这些问题的来源在于我们采用了十进制来计算这些值，是人为设计的，是人类发明的用来解释自然界的规则，自然界本身是规律的简洁的，而不同的解释方式会导致不同复杂程度的解释公式，用十进制表示生活很简单，表示其他东西未必简单，只要是人类发明东西本身就没有完美的，只有客观存在的世界里那些固有的恒定的规律才是最简洁最完美的。