数论，扩展欧几里德算法，同余方程

通过POJ1061青蛙的约会来谈拓展欧几里德算法

分类：数论，扩展欧几里德算法，同余方程

作者： ACShiryu

时间：2011-8-3

原题： http://poj.org/problem?id=1061

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

对于题目中的数据，详见下表

故，可得两只青蛙跳四次就可以在点3处相遇

对于这道题可以知道，当他们相遇时距离原点的位移是相等的，则假设青蛙跳了t次后，则他们相对于原点的位移是

A：（x+mt）%l

B：（y+nt）%l

则可以列方程（x+mt）-（y+nt）=cl （ c为整数）

则变形得 (m-n)t-cl=y-x;

题目要求的就是要使等式成立时最小时的正整数t

在解决这个问题前，我们首先就应该知道什么是扩展欧几里德算法

即

找出一对整数（x，y），使得ax+by=gcd（a，b）。

注意，这里的x和y不一定是正数，也可能是负数或者0.

下面是扩展欧几里德算法的源程序：（参考刘汝佳的《算法竞赛入门经典》第179页）

 1 void gcd ( int a , int b , int &d , int &x , int &y )
 2 {//a，b分别代表方程的系数，d返回a，b的最大公约数，x，y返回对应的解
 3     if ( ! b )//当b等于0的时候，方程就变成了ax=gcd（a，0）=a，所以此时明显可以得到方程的解为x=1，y=0，此时d就为a
 4         d = a , x = 1 , y = 0 ;
 5     else
 6     {//递归求方程的解，等下证明
 7          gcd ( b , a % b , d , y , x ) ;
 8          y -= ( a / b ) * x ;
 9     }
10 }

　　书上对该算法没有给出证明，只有“用数学归纳法并不难证明算法的正确性”一笔代过，现在，去我们就来证明该算法的正确性

当b=0时很好理解，详见上面的注释

关键是当b=/=0，则我们先来假设方程的ax+by=gcd（a，b）=d的一个正整数解为x1，y1；别怀疑，这个方程一定有解

则有ax1+by1=gcd（a，b） （1）

又对于方程bx +（a mod b）y =gcd （b ，a mod b )有解x2，y2（假设）

则有bx2+(a mod b)y2=gcd ( b,a mod b) = gcd(a, b) （2）

又a mod b = a - (a/b)*b；

则（2）式变为bx2+(a-(a/b)*b)y2=gcd(a,b);

即 ay2 + b(x2-(a/b)*y2) = gcd (a,b) (3) ;

对比（1）（3）得

x1=y2 ; y1 = x2 - (a/b)*y2

故，ax+by=gcd（a，b）的解只需要在方程bx +（a mod b）y =gcd （b ，a mod b )的解的基础上进行简单的运算就变成原来方程的解，因为gcd不断递推时会有b=0的情况出现，故可以通过递推来得到方程的解

然后得出了关于方程ax+by=gcd（a，b）的解x0，y0，

但如何要求题目所要求的解了；

假设方程是ax+by=c；

现在我们已经知道了ax+by=gcd（a，b）的解x0，y0，即ax0+by0=gcd（a，b）；

则等式两边同乘以c/gcd（a，b）则得

ax0*c/gcd(a,b)+by0*c/gcd(a,b)=c;（则可知人如果c不是gcd（a，b）的倍数则无解）

故可以得到原方程的一个解是x1=x0*c/gcd(a,b)，y1=y0*c/gcd(a,b)，

再根据下面的结论就可以很好的得出此题的答案了

设a，b，c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为（x0，y0），则它的任意整数解都可以写成（x0+kb',y0-ka'),其中a'=a/gcd（a，b），b'=b/gcd（a，b），k为任意整数

　　关于上面的结论很好证明，此处略。

刚开始的时候没有注意到怎样就解答系，WA了两次

参考代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 
 9 void gcd ( __int64 a , __int64 b , __int64 &d , __int64 &x , __int64 &y )
10 {
11     
12     if ( ! b ) 
13         d = a , x = 1 , y = 0 ;
14     else 
15         gcd ( b , a%b , d , y , x ) , y -= x * ( a / b ) ; 
16 }
17 
18 int main()
19 {
20     __int64 s , t , m , n , l ;
21     while ( ~ scanf ("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d" , & s , & t , & m , & n , & l ) )
22     {
23         __int64 a , b , d , ans ;
24         __int64 x , y ;
25         a = l ;
26         b = m - n ;
27         ans = t - s ;
28         if ( b < 0 )
29             b = n - m , ans = s - t ;
30         gcd ( a , b , d , x , y ) ;
31         if ( ans % d )//无解出现的情况
32             printf("Impossible\n") ;
33         else
34         {
35             __int64 tmp = l / d ;        
36             ans = (  ans / d * y ) % tmp ;//求出答案，因答案要求最小，故还得对答案的“周期”取余
37             if ( ans < 0 )//如果出现的是负数，就要加上周期
38                 ans += tmp ;
39             printf ("%I64d\n",ans);
40         }
41     }
42     return 0;
43 }