有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
lydsy1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere 高斯消元
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1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere
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题目描述
输入
第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。
输出
有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
样例输入
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
样例输出
0.500 1.500
提示
数据规模：
对于40%的数据，1<=n<=3
对于100%的数据，1<=n<=10
提示：给出两个定义：
1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )
做法：把圆心坐标设成 x1,x2,x3.... ,有若干个点 其中两个点坐标为a1，a2, a3.... 和b1,b2,b3.
可以写出方程
sqrt((a1-x1)^2+(a2-x2)^2+(a3-x3)^2)=sqrt((b1-x1)^2+(b2-x2)^2+(b3-x3)^2)
两边去根号，
(a1-x1)^2+(a2-x2)^2+(a3-x3)^2=(b1-x1)^2+(b2-x2)^2+(b3-x3)^2
把平分打开
a1^2+x1^2+a2^2+x2^2+a3^2+x3^2-2*a1*x1-2*a2*x2-2*a3*x3=b1^2+x1^2+b2^2+x2^2+b3^2+x3^2-2*b1*x1-2*b2*x2-2*b3*x3
整理下 把x的二次方 两边都减去。把x的一次放左边 0次项放右边。
-2*a1*x1-2*a2*x2-2*a3*x3+2*b1*x1+2*b2*x2+2*b3*x3=b1^2+b2^2+b3^2-a1^2-a2^2-a3^2
整理下
(-2*a1+2*b1)*x1+(-2*a2+2*b2)*x2+(-2*a3+2*b3)*x3=b1^2+b2^2+b3^2-a1^2-a2^2-a3^2
一共有n+1个点，所以可以写出n条这样的等式。
最后的形式就是AX=b了， 然后就可以高斯消元了。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>
#include <malloc.h>
#include <ctype.h>
#include <math.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <deque>
#include <set>
#include <map>
#define eps 1e-9
const int MAXN=220;
double a[MAXN][MAXN],x[MAXN];//方程的左边的矩阵和等式右边的值，求解之后x存的就是结果
int equ,var;//方程数和未知数个数
/*
*返回0表示无解，1表示有解
*/
int Gauss()
{
int i,j,k,col,max_r;
for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
if(fabs(a[i][col])>fabs(a[max_r][col]))
max_r=i;
if(fabs(a[max_r][col])<eps)return 0;
if(k!=max_r)
{
for(j=col;j<var;j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
swap(x[k],x[max_r]);
}
x[k]/=a[k][col];
for(j=col+1;j<var;j++)a[k][j]/=a[k][col];
a[k][col]=1;
for(i=0;i<equ;i++)
if(i!=k)
{
x[i]-=x[k]*a[i][k];
for(j=col+1;j<var;j++)a[i][j]-=a[k][j]*a[i][col];
a[i][col]=0;
}
}
return 1;
}
double dian[13][13];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=0;i<n+1;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
scanf("%lf",&dian[i][j]);
equ=n;
var=n;
memset(x,0,sizeof x);
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
a[i][j]=-2.0*dian[i][j]+2*dian[i+1][j];
for(int j=0;j<n;j++)
x[i]+=dian[i+1][j]*dian[i+1][j]-dian[i][j]*dian[i][j];
}
Gauss();
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(i!=0)
printf(" ");
printf("%.3lf",x[i]);
}
}
return 0;
}