线性规划之单纯性算法

线性函数：按比例，一阶导数为常数的函数。
松弛变量：引入新的变量，且保持变量间的关系不变。
提到线性规划，自己最先想起的是高中的各种数学题。
线性规划问题的标准形式：

用松弛变量技术把不等式化成等式：

单纯性算法的思想：
从一个基本可行解出发，寻找能使得目标函数更优的另一个解，迭代下去直到找不到。使用这种方法避免大量的无用比较。

例子：

从 FOREVER284LOVE的 《 线性规划与单纯形法》

http://wenku.baidu.com/link?url=05wVz6KCN_d2m-ecjJ2TsRgdD0IttSF0jQ0BI8W-luZRxPARLE5XNRlSyIXBYwoI5lA711iVUkW14xfO3O4UWXAewW3PLkg1puZdiYcvl9u

看到的一题，以它为例：

某工厂在计划期内要安排生产I、  II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材 料的损耗，如表所示：

	I	II
设备   原材料A   原材料B	1         4         0	2        0        4	8台时     16kg     12kg

该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？

解：列出标准形式：

所以：

称Z表达式中的变量为非基变量（x1,x2)，约束方程中剩余的变量是基变量 (x3,x4,x5)
当非基变量全是0时，Z有一个X解。这一个解作为初始解。想要让Z变大，那么正整数系数的变量一定要变大。
可以选一个最大系数的变量x2,那么x1随着x2变大将变成0，那么从约束方程可以看出，X5先变成0，故把X1和X5作为新的非基变量。
有：

存在正系数说明目标函数还能变大。令x5=0，从约束方程可以看出，x1最大取2，此时x3=0。那么新的非基变量就是x3, x5.于是得到：

重复刚刚的步骤，得到：

当x3=x4=0时得到最优解z=14
把刚刚的过程表格化：（表格化思想来自《组合数学及应用》）



我们发现，事实上，一个基本变量和一个非基本变量互换后得到了下一个方程组。
寻找互换的非基本变量：对应的Z行系数是负数的，选择它，有多个负数就选择最小的那个。对应的非基本变量就是选择项。
寻找互换的基本变量：非基本变量增大，基本变量减小，谁先变成0，谁就是基本变量。
数值元素变化规律：称参与互换的非基变量所在列是主元列，基本变量所在行是主元行。
设当前的主元行是r，主元列是c，主元为 , 各个位置的元素值是

设投影列元素a，投影行元素b。投影是相对主元行和主元列而言，上图中16的投影行元素是12，投影列元素是0
那么其他的元素就是：
后续变化：







嗯嗯，就是这个流程。

设那些有数字元素构成一个二维矩阵a[][].  设n个变量，m个约束条件。

那么修改数字矩阵的部分写成程序就是 

    a[r][c] = 1 / a[r][c];

    for(int j = 0; j <= n; j++) if(j != c) a[r][j] *= a[r][c];

    for(int i = 0; i <= m; i++)

    if(i != r) {

      for(int j = 0; j <= n; j++)

        if(j != c) a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];

      a[i][c] = -a[i][c] * a[r][c];

    }

寻找基本变量和非基本变量，判断有界、无解、无界部分是真不会写了，参考别人的模板。

献上一题：

uva  10498 - Happiness

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1439

大意：买N件物品，每个人对每件物品有自己的满意度，且有一个满意度和的限制。每一件物品有自己的价格，问能花费的最多的钱。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxm = 500; // 约束数目上限
const int maxn = 500; // 变量数目上限
const double INF = 1e100;
const double eps = 1e-10;

struct Simplex {
  int n; // 变量个数
  int m; // 约束个数
  double a[maxm][maxn]; // 输入矩阵
  int B[maxm], N[maxn]; // 算法辅助变量

  void calc(int r, int c) {
    swap(N[c], B[r]);
    a[r][c] = 1 / a[r][c];
    for(int j = 0; j <= n; j++) if(j != c) a[r][j] *= a[r][c];
    for(int i = 0; i <= m; i++)
    if(i != r) {
      for(int j = 0; j <= n; j++)
        if(j != c) a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];
      a[i][c] = -a[i][c] * a[r][c];
    }
  }

  bool check() {
    while(1) {
      int r, c;
      double p = INF;
      for(int i = 0; i < m; i++){
         if(a[i][n] < p) {
            r=i;
            p = a[r][n];  // 最右边的常数列
         }
      }
      if(p > -eps) return true;  // 都是正数的话可行。
      p = 0;
      for(int i = 0; i < n; i++) {
          if(a[r][i] < p){
             c=i;
             p = a[r][c];  // 找最小列
          }
      }
      if(p > -eps) return false;  // r对应的所有列都是正数，没有负数，无解。
      p = a[r][n]/a[r][c];
      for(int i = r+1; i < m; i++)
        if(a[i][c] > eps) {
           double v = a[i][n] / a[i][c];
           if(v < p) {
               r = i;
               p = v;
           }
      }
      calc(r, c);
    }
  }

  // 解有界返回1，无解返回0，无界返回-1。b[i]为x[i]的值，ret为目标函数的值
  int simplex(int n, int m, double x[maxn], double& ret) {
    this->n = n;
    this->m = m;
    for(int i = 0; i < n; i++) N[i] = i;
    for(int i = 0; i < m; i++) B[i] = n+i;
    if(!check()) return 0;
    while(1){
      int r, c;
      double p = 0;
      for(int i = 0; i < n; i++) if(a[m][i] > p) {
            c = i;
            p = a[m][c];
      }
      if(p < eps) {
        for(int i = 0; i < n; i++) if(N[i] < n) x[N[i]] = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++) if(B[i] < n) x[B[i]] = a[i][n];
        ret = -a[m][n];
        return 1;
      }
      p = INF;
      for(int i = 0; i < m; i++) if(a[i][c] > eps) {
        double v = a[i][n] / a[i][c];
        if(v < p) { r = i; p = v; }
      }
      if(p == INF) return -1;
      calc(r, c);
    }
  }
};

Simplex solver;
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int n, m;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf", &solver.a[m][i]); // 目标函数
        solver.a[m][n] = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++)
           for(int j = 0; j < n+1; j++)
               scanf("%lf", &solver.a[i][j]);
        double ans,x[maxn];
        solver.simplex(n,m,x,ans);
        ans *= m;
        //printf("Nasa can spend %d taka.\n", int(ans+0.5)); // 至少花费的:3.008-->4
        printf("Nasa can spend %d taka.\n", (int)floor(ans + 1 - eps));
    }
    return 0;
}