数值分析学习(一)之交叉法(Bracketing Methods)求根

在使用计算机求根的时候，由于计算机的数字离散性，通常需要通过试一试的方法确定一个初始值，然后根据这个初始值重复迭代过程，使其最后的函数值趋近于0。但是更多的时候，我们需要让这个过程在计算机中自动进行。目前使用普遍的初始值的猜想方法主要有两个：

1、交叉法(Bracketing Methods)：基于两个猜想的初始值坐落在两边，假想根在这两个初始值的中间；

2、开型法(Open Methods)：可以涉及到一个或多个初始值的猜想，但是没必要将初始值放在实际的根的两边；

比较两种方法，Bracketing Methods几乎在所有情况下都能使用，但是收敛速度较慢，需要更多的迭代次数；而Open Methods在有些情况下不能使用，但是收敛速度较快。

下面首先介绍几种Bracketing Methods：

1、增量搜索(Intcremental Search)

假如两个上下初始值有式子 f(xl)f(xu) < 0，xl表示较小的初始值猜想，xu表示较大的初始值猜想。则至少有一个实根在xl和xu之间。增量搜索有一个搜索精度问题：通常情况下，值得确定出现在f(xl)f(xu)的值改变方向的时候，但是如果每次搜索的步长太小，就会导致迭代次数过多，收敛时间很长；如果搜索步长较大就可能导致空间上最接近，最精确的那个跟被丢掉。如下图：
                                              

上图中最右边的根有可能因为搜索步长太大而被丢失。

下面是Matlab的Incremental Search函数：

function xb = incsearch(func,xmin,xmax,ns)
% incsearch: incremental search root locator
% xb = incsearch(func,xmin,xmax,ns):
% finds brackets of x that contain sign changes
% of a function on an interval
% input:
% func = name of function
% xmin, xmax = endpoints of interval
% ns = number of subintervals (default = 50)
% output:
% xb(k,1) is the lower bound of the kth sign change
% xb(k,2) is the upper bound of the kth sign change
% If no brackets found, xb = [].

if nargin < 3
    error('At least 3 arguments required');
end

if nargin < 4
    ns = 50; 
end

x = linspace(xmin,xmax,ns);
f = func(x);
nb = 0;
xb = [];

for k = 1 : length(x) - 1
    if sign(f(k)) ~= sign(f(k + 1))
        nb = nb + 1;
        xb(nb,1) = x(k);
        xb(nb,2) = x(k + 1);
    end
end

if isempty(xb)
    disp('No brackets found')
    disp('Check interval or increase ns')
else
    disp('Number of brackets: ')
    disp(nb)
end

举个例子：

f(x) = sin(10x) + cos(3x)

输入:

incsearch(@(x) sin(10*x)+cos(3*x),3,6) 得到如下答案:

Number of brackets: 
     5
ans =
    3.2449    3.3061
    3.3061    3.3673
    3.7347    3.7959
    4.6531    4.7143
    5.6327    5.6939
这是根的位置图:

                         

2、对分法(Bisection Method)

对分法如下图所示：首先猜想出两个初始值，找到两个初始值的中间位置，两个初始值分别与中间位置坐标的函数值乘积，如果函数值乘积小于0，则选择函数值乘积小于0的那一边进行迭代，以下的步奏以此类推。

                         

function [root, fx, ea, iter] = bisect(func,xl,xu,es,maxit,varargin)
% bisect: root location zeroes
% [root,fx,ea,iter]=bisect(func,xl,xu,es,maxit,p1,p2,...):
% uses bisection method to find the root of func
% input:
% func = name of function
% xl, xu = lower and upper guesses
% es = desired relative error (default = 0.0001%)
% maxit = maximum allowable iterations (default = 50)
% p1,p2,... = additional parameters used by func
% output:
% root = real root
% fx = function value at root
% ea = approximate relative error (%)
% iter = number of iterations

if nargin < 3
    error('At least 3 input arguments required');
end

test = func(xl,varargin{:}) * func(xu,varargin{:});

if test > 0
    error('No sign change');
end

if nargin < 4 | isempty(es)
    es = 0.0001;
end

if nargin < 5 | isempty(maxit) 
    maxit = 50;
end

iter = 0;
xr = xl;
ea = 100;

while(1)
    xrold = xr;
    xr = (xl + xu)/2;
    iter = iter + 1;
    if xr ~= 0
        ea = abs((xr - xrold)/xr) * 100;
    end

    test = func(xl,varargin{:}) * func(xr,varargin{:});

    if test < 0
        xu = xr;
    elseif test > 0
         xl = xr;
    else
         ea = 0;
    end

    if ea <= es | iter >= maxit
        break;
    end
end

root = xr;
fx = func(xr,varargin{:});

这里同时定义了相对误差：

x_new是当前迭代值，x_old是前一次的迭代值。迭代的时候需要满足一定的的误差条件，只要满足一定的误差范围，可以中断迭代，得到最终的值。

3、试位法(False Position Method)，也可以叫线性插值法(Linear Interpolation Method)

                                                           

通过函数值上面的两个点画出直线，与x轴的交点找到xr。根据xr得到一个函数值，并且用xr替换与xl和xu中函数值符号相同的端值。以此进行迭代。xr的计算方程如下：