求逆元

今天我们来探讨逆元在ACM-ICPC竞赛中的应用,逆元是一个很重要的概念,必须学会使用它。

 

对于正整数,如果有,那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做的逆元。

 

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得,如果为素数,那么还可以根据费马小定理得到逆元为

 

推导过程如下

                            

 

求现在来看一个逆元最常见问题,求如下表达式的值(已知

 

           

 

当然这个经典的问题有很多方法,最常见的就是扩展欧几里得,如果是素数,还可以用费马小定理。

 

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的,它们都会要求互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法,适合所有情况。公式如下

 

          

 

现在我们来证明它,已知,证明步骤如下

 

          求逆元_第1张图片

 

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