codeforces 225E E. Unsolvable(梅森素数+数学)

题目链接:

codeforces 225E

题目大意:

给出一个等式, z=[x2]+y+xy ,求另这个等式无解的z,从小到大排序,访问第i个。

题目分析:

  • 首先为了简便计算先要通过分奇偶去掉向下取整符号,原式转换为如下形式:
    {z=k+y+2ky ,x=2kz=k+y+(2k+1)y ,x=2k+1(1)(2)
  • 对于(1)式我们采取如下推到过程进行推导:
    z=k+y+2ky,k>=02z+1=2k+2y+4ky+12z+1=(2k+1)(2y+1)(3)
  • 对于(2)式我们采取如下的推导过程进行推导:
    z=k+y+(2k+1)yk0z+1=k+2y+2ky+1z+1=(k+1)(2y+1)(4)
  • 那么由(4)式得,要想让原式无解,我们能够知道2y+1能够构造出所有的奇数,k+1能够造出所有正整数,任意正整数可以分解为 k2t,k ,因为2y+1能够构造所有大于1的奇数,所以对于2^t的数是不能构造的,所以 z=2t1
  • 那么由(3)式得,要想让原式无解,我们能够知道2y+1和2k+1能够构造出所有大于1的奇数,判断当前的式子对于(4)不能够构建的 2t1 , 2z+1=2(2t1)+1=2t+11 ,发现一定是个奇数,两个大于1的奇数,一定能够构造出所有非素数的奇数,因为奇数乘奇数一定还是奇数,素数不能分解为两个大于1的因数,所以斯说 2t+112t1z
  • 所以另 z=2t1,2t+11 是梅森素数,打一个表就可以得到所有梅森素数的t+1,然后得到t,算出40个梅森素数即可

AC代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod = 1e9+7;

int a[45] = {2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,
             19937,21701,23209,44497,86243,110503,132049,216091,756839,859433,1257787,1398269,
             2976221,3021377,6972593,13466917,20996011};

int n;

LL pp ( LL num , LL x )
{
    LL ret = 1;
    while ( x )
    {
        if ( x&1 ) 
        {
            ret *= num;
            ret %= mod;
        }
        num *= num;
        num %= mod;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        printf ( "%I64d\n" , pp ( 2 , a[n-1]-1 ) -1 );
    }
}

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