HDU 5072 Coprime (单色三角形问题+容斥原理）

我们先来介绍一下单色三角形问题，如下

单色三角形

在空间中给出了n个点。这些点任三点不共线，并且每两个点之间都有一条线相连，每一条线不是红的就是黑的。在这些点和线组成的三角形中，如果一个三角形的三条边的颜色都相同，那么我们就称这个三角形为单色三角形。现给出所有涂红色的线，试求出单色三角形的数目。

任务：

请写一个程序：

从文本文件中读入点数和对红色连线的描述；

找出该图中红色三角形的数目；

把结果输出到文件TRO.OUT中。

输入格式：

在文本文件TRO.IN的第一行包括一个整数n，3 <= n <= 1000，为空间中的点数。 该文件的第二行为一个整数m，0 <= m <= 250000，为红色连线的数目。 以下的m行中每行为两个用空格分开的整数p和k，1 <= p < k <= n，表示第p点和第k号点之间的连线为红色。 输出格式： 你应该在文本文件TRO.OUT输出唯一的一个整数——同色三角形的数目。 样例： 输入 6 9 1 2 2 3 2 5 1 4 1 6 3 4 4 5 5 6 3 6 输出 2

分析：

对于任意的一个不是同色三角形的三角形，他必有一个顶点连着两条不同色的边，

因此我们可以考虑统计部同色的三角形有多少个，即统计所有顶点连着不同色的边

的个数：设d[i]表示第i的顶点连着的红边的个数 那么它连着的黑边的个数为（n-1-d[i]）

sum=d[i]*(n-1-d[i])  (i=1,2,3,....n)

由于没条边都统计了两次所以同色三角形的个数为  ANS = C(n,3) - sum/2;

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int maxn = 200010;
typedef long long LL;

int a[maxn];
int cnt[maxn];
int n,num;
int ele[100];

void fen(int x)//素因子分解
{
    num=0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            ele[num++]=i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ele[num++]=x;
}

void init()//预处理与a[i]不互质的数的个数
{
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        fen(a[i]);
        for(int j=1;j<(1<<num);j++){
            int tmp=1;
            for(int k=0;k<num;k++)
                if((1<<k)&j) tmp*=ele[k];
            cnt[tmp]++;
        }
    }
}

LL solve()
{
    LL ans=n;
    ans=ans*(n-1)*(n-2)/6;//防止爆int
    LL sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++){//容斥原理求与a[i]不互质的数的个数
        fen(a[i]);
        LL tmp=0;
        for(int j=1;j<(1<<num);j++){
            LL ret = 1;
            int t=0;
            for(int k=0;k<num;k++){
                if((1<<k)&j){
                    ret*=ele[k];
                    t++;
                }
            }
            if(t&1) tmp+=cnt[ret];
            else tmp-=cnt[ret];
        }
        if(tmp==0) continue;
        else sum+=(n-tmp)*(tmp-1);
        //cout<<i<<" "<<tmp<<" "<<(n-tmp)*(tmp-1)/2<<endl;
    }
    return ans-sum/2;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        init();
        LL ans=solve();
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}