[USACO Open10]数三角形Triangle Counting解题报告

题目

http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=543

分析

这道题的要点在于：含原点的三角形不好数，我们数不含原点的三角形，最后用C(N,3)扣掉它就是答案了。

怎么数“不含原点的三角形”呢？

画出我们所在的坐标系。我们拿一条过原点的直线l，按极角序去扫描：

直线l分成两条射线，一个是a，另一个是b。它绕着原点（Bessie所在点）旋转，请自行想象在孙悟空手中旋转的金箍棒。

（猴哥，猴哥，你真了不得……）

然后关键在于：每当射线a扫到一个点P时，我们统计P和直线l“左侧”所有点形成的三角形（严格地讲，是和a叉积为正的半平面）：

像这样，图中展示了a扫到p点时统计的三个三角形。

每一个不包含原点的三角形——无论形状多么畸形，位置多么奇特，总会被计入统计一次且只有一次。下面展示了几个三角形，和它们被计入统计时，扫描线a的位置：

（注意，这个点不一定是极角最小的点）

这样问题就好办了：先把所有点按照极角排序，然后线性扫描下去，用两个指针维护a和b的位置，在扫描的过程中，减掉所有应予统计的三角形。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SIZEN=200010;
class Point{
public:
	LL x,y;
	double ang;
};
bool cmp(const Point &a,const Point &b){
	return a.ang<b.ang;
}
LL cross(const Point &a,const Point &b){
	return a.x*b.y-b.x*a.y;
}
int N;
Point P[SIZEN];
void work(void){
	sort(P+1,P+1+N,cmp);
	for(int i=1;i<=N;i++) P[N+i]=P[i];
	LL ans=(LL)N*(N-1)*(N-2)/6;
	for(int i=1,j=1;i<=N;i++){
		while(j<i+N&&cross(P[i],P[j])>=0) j++;
		LL k=j-i-1;
		ans-=k*(k-1)/2;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
void read(void){
	scanf("%d",&N);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		scanf("%lld%lld",&P[i].x,&P[i].y);
		P[i].ang=atan2(P[i].y+0.0,P[i].x+0.0);
	}
}
int main(){
	freopen("tricount.in","r",stdin);
	freopen("tricount.out","w",stdout);
	read();
	work();
	return 0;
}