[number theory]数论

致良知之寄诸用明书 BonSun
众所周知，当今社会，父母和社会、学校对学生的期望往往是唯分数论，包括每个人对成功的理解也往往是功名利禄，忽视了最基本的学问。文中提到，花之千叶者无实，为其华美太发露耳。人只有沉下心来，韬光养晦，才能拥有真正的学问和本领。
Python【math数学函数】 Alan_Lowe #Python python
Python【math数学函数】文章目录Python【math数学函数】数论与表示函数1.ceil()和floor()2.comb()3.copysign()4.fabs()5.factorial()6.gcd()7.lcm()幂函数与对数函数1.exp()和math.e和pow()2.log()和log2()和log10()3.sqrt(x)三角函数1.asin、acos()、atan()2.s
python 实现eulers totient欧拉方程算法 luthane 算法 python 开发语言
eulerstotient欧拉方程算法介绍欧拉函数（Euler’sTotientFunction），通常表示为()，是一个与正整数相关的函数，它表示小于或等于的正整数中与互质的数的数目。欧拉函数在数论和密码学中有广泛的应用。欧拉函数的性质1.**对于质数，有φ(p)=p−1∗∗φ(p)=p−1^{**}φ(p)=p−1∗∗。2.**如果是质数的次幂，即n=pkn=p^kn=pk，则φ(n)=pk−
算法设计与分析学习（6）——数论罗塞菈桔梨萝柚算法学习算法线性代数
数论整除基本概念若aaa和bbb为整数，且a≠0a≠0a=0若存在整数qqq使得b=aqb=aqb=aq，那么就说aaa可以整除bbb或是bbb被aaa整除，记作a∣ba|ba∣b。aaa也被称为bbb的约数，bbb也被称为a的倍数。若bbb不能被aaa整除，则记作a∤ba\not{|}ba∣b。整数p≠0,±1p≠0,±1p=0,±1，且除了±1,±p±1,±p±1,±p外没有其他的约数
数论——欧几里得算法 NarutoTime 数论算法 c++数据结构 c语言
1.欧几里得简介欧几里得（希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年—公元前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，在书中他提出五大公设。欧几里得的《几何原本》被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。2.欧几里得算法欧几里得算法用于：求解a和b的最大公约数。最大公约数英文为：Gre
数论——扩展欧几里得算法 NOI_yzk
欧几里得&拓展欧几里得（Euclid&Extend-Euclid）欧几里得算法（Euclid）背景：欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。——百度百科代码：递推的代码是相当的简洁：intgcd(inta,intb){returnb==0?a:gcd(b,a%b);}分析：方法说了是辗转相除法，自然没有什么好介绍的了。。Fresh肯定会觉得这样递归下去会不会爆栈？实际上在
数论学习1（欧几里德算法+唯一分解定理+埃氏筛+拓展欧几里德+同余与模算术） new出新对象！数学数算法学习
目录1.唯一分解定理2.欧几里德算法（求最大公约数）3.求最小公倍数4.埃氏筛5.拓展欧几里德算法(1)证明一下线性方程组的正数的最小值是多少，(2)如何通过裴蜀定理退出拓展欧几里得算法(贝祖定理)6.同余与模算术(1)取模运算操作加法取模运算减法取模运算乘法取模运算(2)特殊的取模操作大整数取模幂取模(3)同余式，乘法逆元，费马小定理今天也是小小的开始学习数论方面的知识了，首先数论的入门章节必然
Collatz 猜想和 Python 不连续小姐
PythonDay4:CollatzConjecture原来总有学生问我，微积分有什么用啊，我说如果微积分学好了，也许抽象代数和数论就能学好，那最后就能像AndrewWiles一样上人物年度杂志的封面了.(AndrewWiles证明了Fermat'sLastTheorem，费玛大定理).[captionid="attachment_1466"align="alignnone"width="300"
初等数论--整除--带余除法 WeidanJi 初等数论数学密码学信息安全
初等数论--整除--带余除法概念基本性质带余除法博主本人是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。我整理成一个系列：初等数论，方便检索。概念初等数论研究对象是整数集合和自然数集合。初等数论研究对象是整数集合和自然数集合。初等数论研究对象是整数集合和自然数集合。b∣a:若a,b∈Z,b≠0，∃c∈Z,使a=bc,则称b整除a
河南萌新2024第四场 Pown_ShanYu 算法数据结构
C岗位分配题目大意：有n个岗位，m位志愿者，每个岗位至少需要a个志愿者，并且可以有志愿者可以空闲下来作预备，给出可能的分配情况总数思路：首先将每个岗位分配好至少需要的志愿者，再将剩下的人进行分配，那就满足球同盒不同模型（允许空盒），可用隔板法进行分配，需要额外开设一个空闲岗位用来预备，那么按照4个人去4个岗位，那么为c73，具体操作可看数论模板中发布的隔板法问题，递归求组合数Solved：intn
【读书笔记】吴非《致青年教师》(4) 冬儿菇凉
一、精要摘录(48——106页)1.教育教学不能“唯分数论“，比分数重要的是学生思维品质和解决实际问题的能力。2.一名教师心中有使命感，心中有学生才会很在意学生对他的态度，在意学生的接受度。3.作为教师，你要善于向学生问出有意思的问题。4.教育就是要培养好习惯，教是为了达到不需要教学生，不需要老师教了是教学的成功，也是教师的职业追求。5.教师是学习者，在学习上教师首先要郑重其事，学生才有可能养成敬
【代码随想录算法训练营Day39】62.不同路径；63. 不同路径 II 想做一只潜水的猪算法
文章目录❇️Day39第九章动态规划part02✴️今日任务❇️62.不同路径自己的思路自己的代码随想录思路随想录代码❇️63.不同路径II自己的思路自己的代码随想录代码❇️Day39第九章动态规划part02✴️今日任务今天开始逐渐有dp的感觉了，题目不多，就两个不同路径，可以好好研究一下62.不同路径63.不同路径II❇️62.不同路径本题大家掌握动态规划的方法就可以。数论方法有点非主流，很难
算法D39 | 动态规划2 | 62.不同路径 63. 不同路径 II memolaner 算法训练营算法动态规划数据结构 c++python
今天开始逐渐有dp的感觉了，题目不多，就两个不同路径，可以好好研究一下62.不同路径本题大家掌握动态规划的方法就可以。数论方法有点非主流，很难想到。代码随想录视频讲解：动态规划中如何初始化很重要！|LeetCode：62.不同路径_哔哩哔哩_bilibili这个题看到路径的表示，第一直觉就是一个组合数的问题，学了一下C++计算组合数防止溢出的小技巧。第二个方法再动态规划完成，重点是把二维的动态规划
牛客周赛 Round 35（A,B,C,D,E,F,G）邪神与厨二病牛客算法暴力 c++数论滑动窗口单调队列贪心构造
这场简单，甚至赛时90分钟不到就AK了。比赛链接，队友题解友链刚入住学校监狱，很不适应，最近难受的要死，加上最近几场CF打的都不顺利，san值要爆掉了，只能慢慢补题了。这场C是个滑动窗口，D是贪心，E是有点麻烦的构造，FG是数论。A小红的字符串切割思路：记录一下字符串长度，然后从中间拆开。code：#include#include#includeusingnamespacestd;strings;
算法——数论——同余戏拈秃笔数据结构与算法（java版）算法
目录同余一、试题算法训练同余方程同余同余使人们能够用等式的形式简洁地描述整除关系同余：若m（正整数），a和b是整数，a%m==b%m，或(a-b)%m==0，记为ab(modm)求解一元线性同余方程等价于求解二元线性丢番图方程一元线性同余方程，解法看下面第一题二元线性丢番图方程逆：的一个解为a模m的逆一、试题算法训练同余方程问题描述求关于x的同余方程ax≡1(modb)的最小正整数解。输入格式输入
pku acm 题目分类 moxiaomomo 算法数据结构 numbers 优化 calendar combinations
1.搜索//回溯2.DP（动态规划）3.贪心北大ACM题分类2009-01-2714.图论//Dijkstra、最小生成树、网络流5.数论//解模线性方程6.计算几何//凸壳、同等安置矩形的并的面积与周长sp;7.组合数学//Polya定理8.模拟9.数据结构//并查集、堆sp;10.博弈论1、排序sp;1423,1694,1723,1727,1763,1788,1828,1838,1840,22
C++STL之Queue容器芯片烧毁大师数据结构 C++c++开发语言
C++STL之Queue容器1.再谈队列回顾一下之前所学的队列，队列和栈不同，队列是一种先进先出的数据结构，STL的队列内容极其重要，虽然内容较少但是请务必掌握，STL的队列是快速构建搜索算法以及相关的数论图论的状态存储的基础。2.相关头文件头文件：#include3.初始化格式为：**explicit**queue(**const**container_type&ctnr=container_t
数字签名算法MD5withRSA Just_Paranoid 技术流Clip md5 rsa signatrue
数字签名MD5withRSA，：将正文通过MD5数字摘要后，将密文再次通过生成的RSA密钥加密，生成数字签名，将明文与密文以及公钥发送给对方，对方拿到私钥/公钥对数字签名进行解密，然后解密后的，与明文经过MD5加密进行比较，如果一致则通过使用Signature的API来实现MD5withRSARSA原理：RSA算法基于一个十分简单的数论事实，将两个大素数相乘十分容易，但反过来想要对其乘积进行因式分
2301: 不定方程解的个数 jht0105 算法
题目描述输出不定方程解的个数。在数学中，不定方程是数论中的一个重要课题，在各种比赛中也常常出现.对于不定方程，有时我们往往只求非负整数解，现有方程ax+by+c=0，其中x、y为未知量且不超过10000，当给定a、b、c的值以后，可求出n组x、y的非负整数解，n>=0，,其中a，b，c均为[-10000,10000].输入描述一行，三个空格隔开的整数，为a、b、c的值。输出描述一个整数，为合法的解
python伯努利多项式微小冷 #sympy python 开发语言 sympy 伯努利数排列组合符号计算
文章目录伯努利数和多项式sympy实现伯努利数是一种在数学、物理和工程中广泛应用的特殊数列，以瑞士数学家雅各布·伯努利（JacobBernoulli）的名字命名，并在许多领域中发挥重要作用。在数学中，它们与斐波那契数列、卡塔兰数、贝尔数等数列有密切联系，可以用于解决循环问题、组合问题和递推关系等数学问题。伯努利数和多项式伯努利(Bernoulli)数是一组在数论和复分析中出现的数，与伯努利多项式有
二次剩余问题x的求解及代码实现（python） JustGo12 数论安全 1024程序员节
一、问题引入二次剩余是数论基本概念之一。它是初等数论中非常重要的结果，不仅可用来判断二次同余式是否有解，还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石，他一人先后给出多个证明。[1]研究二次剩余的理论称为二次剩余理论。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。即关于方x^2≡a(modp)对于这个方程，求出满足条件的x。二、x的求解在上述问题下，根据p值的不同性质，可以
【数论】exgcd 扩展欧几里得算法 Texcavator 数论算法
参考：exgcd详解-zzt1208-博客园(cnblogs.com)exgcd（扩展欧几里得算法），用来求形如ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)（a,ba,ba,b为常数）的方程的一组整数解。（如果不确定等号右边是不是gcd，可以先当做gcd，求出来之后验证，是的话就是解，不是的话就不是解）推导见上面的链接，这篇只放个板子codeintexgcd
2021-07-30 RX-0493
学了一会数论，好难1.乘法逆元：a/b%p,若a/b在进行取模运算时，会出现精度问题，而且模运算对除法不适用，（没有分配律，大概就这意思）而求出乘法逆元后，可以把原式变为a*x%p的形式，且值不变。a*x≡1（modp）中，a,p为已知量，则x为a的乘法逆元。例题：乘法逆元设p=k*i+r,(1usingnamespacestd;constintN=20000530;intn,p,inv[N];i
同余数论性质 clmm_ 算法
同余概念当a%m==b%m，说明a和b同余，写作若a≡b(modm)性质衍生出几条性质1.m|abs(a-b)，即|a-b|是m的倍数。（注意，0是任何数的倍数）2.当a≡b(modm)，c≡d(modm)，有ac≡bd(modm)有a+c≡b+d(modm)有a-c≡b-d(modm)证明如下
读《爱心与教育》第八天皮_小皮
作为一名教师，尤其是班主任老师，“培优转差”是教育工作的一项重要内容，读了李镇西老师的《爱心与教育》，自己受到不小的启发，对“优生”的培养和后进生的转化有了新的认识和思考。对“优生”的重新认识——李老师说：“优生”当然应该是指品学兼优的学生，但在现在不少教师、家长的眼中，所谓“优生”更多的是指学习成绩拔尖的学生（即尖子生）。的确，在升学竞争和应试教育的大环境下，很多教育者都以分数论英雄，对“优生”
RSA算法 superdont 图像加密算法 java 服务器
RSA算法是一个非对称加密算法，它依赖于数论中的大整数因数分解问题的困难性。在RSA中，加密和解密使用不同的密钥，分别称为公钥和私钥。RSA算法的基本原理包括以下几个步骤：密钥生成：a.选择两个大的质数(p)和(q)。b.计算它们的乘积(n=pq)，n的长度就是密钥长度。c.计算欧拉函数(\phi(n)=(p-1)(q-1))。d.选择一个整数(e)，使得(1
日精进110天金八力韩英雪
敬爱的老师，智慧的班主任，亲爱的跃友们：大家好！我是来自山峰教外教育的韩英雪，今天是我的日精进行动第110天，给大家分享我今天的进步，我们互相勉励，携手前行。每天进步一点点，距离成功便不远。1、比学习:个体身心发展的规律。顺序性，阶段性，不平衡性，互补性，个别差异性和整体性。个体身心发展的能动动因主要由内发论，外数论多因素互相作用论。其中内发论的代表人物包括孟子，弗洛伊德，威尔逊，格赛尔，霍尔等外
[C语言]Day04作业：输出菱形,判断水仙花数,输出a = aaaaa MrDorli C语言学习 c语言
/*1.在屏幕上输出以下图案：*************************************************************************************2.求出0～999之间的所有“水仙花数”并输出。“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和确好等于该数本身，如；153＝1＋5＋3?，则153是一个“水仙花数”。在数论中，水仙花数（Narciss
信安数基2-同余方程利賀田
基本概念及一次同余式同余式是数论的基本概念之一，设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(modm)，或记为a≡b(m)。这个式子称为模m的同余式，若m∤(a-b)，则称a、b对模m不同余，同余概念又常表达为：1.a=b+km(k∈Z)；2.a和b被m除时有相同的[余数]。同余式的记号由高斯(Gauss,C.F.)于1800年首创,发表在他的数论
【数论】矩阵快速幂 Texcavator 数论矩阵算法数据结构
参考：P3193[HNOI2008]GT考试题解放个板子structMartix{inta[30][30];//在这里修改矩阵的大小Martix(){memset(a,0,sizeof(a));}Martixoperator*(constMartix&B)const//乘法运算符重载{Martixres;for(inti=0;i>=1;a=a*a;}returnans;}
二分查找排序算法周凡杨 java 二分查找排序算法折半
一：概念二分查找又称折半查找（折半搜索/ 二分搜索），优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步
java中的BigDecimal bijian1013 java BigDecimal
在项目开发过程中出现精度丢失问题，查资料用BigDecimal解决，并发现如下这篇BigDecimal的解决问题的思路和方法很值得学习，特转载。原文地址：http://blog.csdn.net/ugg/article/de
Shell echo命令详解 daizj echo shell
Shell echo命令 Shell 的 echo 指令与 PHP 的 echo 指令类似，都是用于字符串的输出。命令格式： echo string 您可以使用echo实现更复杂的输出格式控制。 1.显示普通字符串: echo "It is a test" 这里的双引号完全可以省略，以下命令与上面实例效果一致： echo Itis a test 2.显示转义
Oracle DBA 简单操作周凡杨 oracle dba sql
--执行次数多的SQL select sql_text,executions from ( select sql_text,executions from v$sqlarea order by executions desc ) where rownum<81; &nb
画图重绘朱辉辉33 游戏
我第一次接触重绘是编写五子棋小游戏的时候，因为游戏里的棋盘是用线绘制的，而这些东西并不在系统自带的重绘里，所以在移动窗体时，棋盘并不会重绘出来。所以我们要重写系统的重绘方法。在重写系统重绘方法时，我们要注意一定要调用父类的重绘方法，即加上super.paint(g)，因为如果不调用父类的重绘方式，重写后会把父类的重绘覆盖掉，而父类的重绘方法是绘制画布，这样就导致我们
线程之初体验西蜀石兰线程
一直觉得多线程是学Java的一个分水岭，懂多线程才算入门。之前看《编程思想》的多线程章节，看的云里雾里，知道线程类有哪几个方法，却依旧不知道线程到底是什么？书上都写线程是进程的模块，共享线程的资源，可是这跟多线程编程有毛线的关系，呜呜。。。线程其实也是用户自定义的任务，不要过多的强调线程的属性，而忽略了线程最基本的属性。你可以在线程类的run()方法中定义自己的任务，就跟正常的Ja
linux集群互相免登陆配置林鹤霄 linux
配置ssh免登陆 1、生成秘钥和公钥 ssh-keygen -t rsa 2、提示让你输入，什么都不输，三次回车之后会在~下面的.ssh文件夹中多出两个文件id_rsa 和 id_rsa.pub 其中id_rsa为秘钥，id_rsa.pub为公钥，使用公钥加密的数据只有私钥才能对这些数据解密 c
mysql : Lock wait timeout exceeded; try restarting transaction aigo mysql
原文：http://www.cnblogs.com/freeliver54/archive/2010/09/30/1839042.html 原因是你使用的InnoDB 表类型的时候, 默认参数:innodb_lock_wait_timeout设置锁等待的时间是50s, 因为有的锁等待超过了这个时间,所以抱错. 你可以把这个时间加长,或者优化存储
Socket编程基本的聊天实现。 alleni123 socket
public class Server { //用来存储所有连接上来的客户 private List<ServerThread> clients; public static void main(String[] args) { Server s = new Server(); s.startServer(9988); } publi
多线程监听器事件模式(一个简单的例子) 百合不是茶线程监听模式
多线程的事件监听器模式监听器时间模式经常与多线程使用,在多线程中如何知道我的线程正在执行那什么内容,可以通过时间监听器模式得到创建多线程的事件监听器模式思路: 1, 创建线程并启动,在创建线程的位置设置一个标记 2,创建队
spring InitializingBean接口 bijian1013 java spring
spring的事务的TransactionTemplate，其源码如下： public class TransactionTemplate extends DefaultTransactionDefinition implements TransactionOperations, InitializingBean{ ... } TransactionTemplate继承了DefaultT
Oracle中询表的权限被授予给了哪些用户 bijian1013 oracle 数据库权限
Oracle查询表将权限赋给了哪些用户的SQL，以备查用。 select t.table_name as "表名", t.grantee as "被授权的属组", t.owner as "对象所在的属组"
【Struts2五】Struts2 参数传值 bit1129 struts2
Struts2中参数传值的3种情况 1.请求参数绑定到Action的实例字段上 2.Action将值传递到转发的视图上 3.Action将值传递到重定向的视图上一、请求参数绑定到Action的实例字段上以及Action将值传递到转发的视图上 Struts可以自动将请求URL中的请求参数或者表单提交的参数绑定到Action定义的实例字段上，绑定的规则使用ognl表达式语言
【Kafka十四】关于auto.offset.reset[Q/A] bit1129 kafka
I got serveral questions about auto.offset.reset. This configuration parameter governs how consumer read the message from Kafka when there is no initial offset in ZooKeeper or
nginx gzip压缩配置 ronin47 nginx gzip 压缩范例
nginx gzip压缩配置更多 0 nginx gzip 配置随着nginx的发展，越来越多的网站使用nginx，因此nginx的优化变得越来越重要，今天我们来看看nginx的gzip压缩到底是怎么压缩的呢？ gzip(GNU-ZIP)是一种压缩技术。经过gzip压缩后页面大小可以变为原来的30%甚至更小，这样，用
java-13.输入一个单向链表，输出该链表中倒数第 k 个节点 bylijinnan java
two cursors. Make the first cursor go K steps first. /* * 第 13 题：题目：输入一个单向链表，输出该链表中倒数第 k 个节点 */ public void displayKthItemsBackWard(ListNode head,int k){ ListNode p1=head,p2=head;
Spring源码学习-JdbcTemplate queryForObject bylijinnan java spring
JdbcTemplate中有两个可能会混淆的queryForObject方法： 1. Object queryForObject(String sql, Object[] args, Class requiredType) 2. Object queryForObject(String sql, Object[] args, RowMapper rowMapper) 第1个方法是只查
[冰川时代]在冰川时代,我们需要什么样的技术? comsci 技术
看美国那边的气候情况....我有个感觉...是不是要进入小冰期了? 那么在小冰期里面...我们的户外活动肯定会出现很多问题...在室内呆着的情况会非常多...怎么在室内呆着而不发闷...怎么用最低的电力保证室内的温度.....这都需要技术手段... &nb
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C# socks5详解转 dalan_123 socket C#
http://www.cnblogs.com/zhujiechang/archive/2008/10/21/1316308.html 这里主要讲的是用.NET实现基于Socket5下面的代理协议进行客户端的通讯，Socket4的实现是类似的，注意的事，这里不是讲用C#实现一个代理服务器，因为实现一个代理服务器需要实现很多协议，头大，而且现在市面上有很多现成的代理服务器用，性能又好，
运维 Centos问题汇总 dcj3sjt126com 云主机
一、sh 脚本不执行的原因 sh脚本不执行的原因只有2个 1.权限不够 2.sh脚本里路径没写完整。二、解决You have new mail in /var/spool/mail/root 修改/usr/share/logwatch/default.conf/logwatch.conf配置文件 MailTo = MailFrom 三、查询连接数
Yii防注入攻击笔记 dcj3sjt126com sql WEB安全 yii
网站表单有注入漏洞须对所有用户输入的内容进行个过滤和检查，可以使用正则表达式或者直接输入字符判断，大部分是只允许输入字母和数字的，其它字符度不允许；对于内容复杂表单的内容，应该对html和script的符号进行转义替换：尤其是<,>,',"",&这几个符号这里有个转义对照表： http://blog.csdn.net/xinzhu1990/articl
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zookeeper windows 入门安装和测试 greemranqq zookeeper 安装分布式
一、序言以下是我对zookeeper 的一些理解： zookeeper 作为一个服务注册信息存储的管理工具，好吧，这样说得很抽象，我们举个“栗子”。栗子1号：假设我是一家KTV的老板，我同时拥有5家KTV，我肯定得时刻监视
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Spring事务注解实现 1. 依赖包： 1.1 spring包： spring-beans-4.0.0.RELEASE.jar spring-context-4.0.0.
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jdk与jre的区别（_） macroli java jvm jdk
简单的说JDK是面向开发人员使用的SDK，它提供了Java的开发环境和运行环境。SDK是Software Development Kit 一般指软件开发包，可以包括函数库、编译程序等。 JDK就是Java Development Kit JRE是Java Runtime Enviroment是指Java的运行环境，是面向Java程序的使用者，而不是开发者。如果安装了JDK，会发同你
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[一起学Hive]之十四-Hive的元数据表结构详解 superlxw1234 hive hive元数据结构
关键字：Hive元数据、Hive元数据表结构之前在 “[一起学Hive]之一–Hive概述，Hive是什么”中介绍过，Hive自己维护了一套元数据，用户通过HQL查询时候，Hive首先需要结合元数据，将HQL翻译成MapReduce去执行。本文介绍一下Hive元数据中重要的一些表结构及用途，以Hive0.13为例。文章最后面，会以一个示例来全面了解一下，
Spring 3.2.14，4.1.7，4.2.RC2发布 wiselyman Spring 3
Spring 3.2.14、4.1.7及4.2.RC2于6月30日发布。其中Spring 3.2.1是一个维护版本(维护周期到2016-12-31截止)，后续会继续根据需求和bug发布维护版本。此时，Spring官方强烈建议升级Spring框架至4.1.7 或者将要发布的4.2 。其中Spring 4.1.7主要包含这些更新内容。

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