差分约束系统---算法导论第24章

差分约束系统：

以算法导论中的问题为例：

X1 - X2 <= 0 X1 - X5 <= -1 X2 - X5 <= 1 X3 - X1 <= 5 （1） X4 - X1 <= 4 X4 - X3 <= -1 X5 - X3 <= -3 X5 - X4 <= -3

这样的不等式组就称作差分约束系统。

注意：
x1-x2<=w在图上对应的是x2->x1的边权为w的一条边，而不是x1->x2

这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。因为如果有一组解{X1, X2, …, Xn}的话，那么对于任何一个常数k，{X1 + k, X2 + k, …, Xn + k}肯定也是一组解，因为任何两个数同时加一个数之后，它们的差是不变的。

问题求解：

差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。即对于任何一条边u -> v，都有：d(v) <= d(u) + w(u, v)
其中d(u)和d(v)是从源点分别到点u和点v的最短路径的权值，w(u, v)是边u -> v的权值。以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。

问题转化：

把一个差分约束系统转化成一张图，每个未知数Xi对应图中的一个顶点Vi，把所有不等式都化成图中的一条边。
在这张图上求一次单源最短路径，这些三角形不等式就会全部都满足。

对于源点，可以自己额外添加。以上面的不等式组为例，我们就再新加一个未知数X0。然后对原来的每个未知数都对X0加一个不等式，不妨就全都写成Xn - X0 <= 0。于是有：

X1 - X0 <= 0 X2 - X0 <= 0 X3 - X0 <= 0 （2） X4 - X0 <= 0 X5 - X0 <= 0

从而，差分约束系统（1）对应的约束图如下：

以V0为源点，求单源最短路径。最终得到的V0到Vn的最短路径长度就是Xn的一个解。 也有可能出现无解的情况，即从源点到某一个顶点不存在最短路径。原因是图中存在负权的圈。