Hopcroft-Karp算法

Hopcroft-Karp算法

该算法由John.E.Hopcroft和Richard M.Karp于1973提出，故称Hopcroft-Karp算法。

原理

为了降低时间复杂度，可以在增广匹配集合M时，每次寻找多条增广路径。这样就可以进一步降低时间复杂度，可以证明，算法的时间复杂度可以到达O（n^0.5*m），虽然优化不了多少，但在实际应用时，效果还是很明显的。

基本算法

该算法主要是对匈牙利算法的优化，在寻找增广路径的时候同时寻找多条不相交的增广路径，形成极大增广路径集，然后对极大增广路径集进行增广。在寻找增广路径集的每个阶段，找到的增广路径集都具有相同的长度，且随着算法的进行，增广路径的长度不断的扩大。可以证明，最多增广n^0.5次就可以得到最大匹配。

算法流程

（1）从G=(X,Y;E)中取一个初始匹配。

（2）若X中的所有顶点都被M匹配，则表明M为一个完美匹配，返回；否则，以所有未匹配顶点为源点进行一次BFS，标记各个点到源点的距离。

（3）在满足dis[v] = dis[u] + 1的边集<v,u>中，从X中找到一个未被M匹配的顶点x0，记S = {x0}，T = ￠。

（4）若N（S） = T，则表明当前已经无法得到更大匹配，返回；否则取一y0∈N(S) - 。

（5）若y0已经被M匹配则转步骤（6），否则做一条x0->y0的M-增广路径P（x0,y0）,取M = M△P（x0,y0）。

（6）由于y已经被M匹配，所以M中存在一条边（y0,z0）去S = S∪ {z0}，T = T∪{y0}，转步骤（2）。

算法具体时间与分析

在寻找增广路径中可以对X中的每个未匹配的顶点进行BFS，BFS时对每个顶点维护一个距离编号dx[nx],dy[ny]，如果某个Y中的节点为未匹配点，则找到一条增广路径。BFS结束后找到了增广路径集。然后利用DFS与匈牙利算法类似的方法对每条增广路进行增广，这样就可以找到最大匹配.

bool SearchP(){
	queue<int> Q;
	dis = kINF;
	memset(dx, -1, sizeof(dx));
	memset(dy, -1, sizeof(dy));
	for(int i = 0; i < n; i++){
		if(Mx[i] == -1){
			Q.push(i);
			dx[i] = 0;
		}
	}
	while(!Q.empty()){
		int u = Q.front(); Q.pop();
		if(dx[u] > dis) break;
		for(int v = 0; v < m; v++){
			if(G[u][v] && dy[v] == -1){
				dy[v] = dx[u] + 1;
				if(My[v] == -1){
					dis = dy[v];
				}else{
					dx[My[v]] = dy[v] + 1;
					Q.push(My[v]);
				}
			}
		}
	}
	return dis != kINF;
}

bool Dfs(int u){
	for(int v = 0; v < m; v++){
		if(G[u][v] && !used[v] && dy[v] == dx[u] + 1){
			used[v] = true;
			if(My[v] != -1 && dy[v] == dis) continue;
			if(My[v] == -1 || Dfs(My[v])){
				My[v] = u;
				Mx[u] = v;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

void MaxMatch(){
	int ret = 0;
	memset(Mx, -1, sizeof(Mx));
	memset(My, -1, sizeof(My));
	while(SearchP()){
		memset(used, false, sizeof(used));
		for(int i = 0; i < n; i++){
			if(Mx[i] == -1 && Dfs(i)) ret++;
		}
	}
	printf("%d\n", ret);
}