卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰公式的应用很广泛,最典型的四种应用问题现描述如下:

1.括号化问题。

  矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)

2.出栈次序问题。


  一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?


  类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)


3.将多边行划分为三角形问题。


  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?


  类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?


      类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?


4.给顶节点组成二叉树的问题。


  给定N个节点,能构成多少种不同的二叉树?

Catalan数的解法


1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
令h(1)=1,h(0)=1,catalan数满足递归式:
  h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
  例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
  h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
  另类递归式:
  h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
  该递推关系的解为:
  h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

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