树状数组

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和,但是每次只能修改一个元素的值;经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改,但是这时只能查询其中一个元素的值。

这种数据结构(算法)并没有C++和Java的库支持,需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像,但能用树状数组解决的问题,基本上都能用线段树解决,而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言,树状数组效率要高很多。


C[1] = A[1]
C[2] = A[1 ]+ A[2]
C[3] = A[3]
C[4] = A[1] + A[2 ]+ A[3 ]+ A[4]
C[5] = A[5]
C[6] = A[5] + A[6]
C[7] = A[7]
C[8] = A[1] + A[2] + A[3 ]+ A[4 ]+ A[5] + A[6 ]+ A[7] + A[8]

设节点编号为x,那么这个节点管辖的区间为2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax.

一维树状数组基本操作:

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#define MAXN 100000
using namespace std;

int c[MAXN];
int n;

int lowbit(int x)///利用计算机补码计算2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)
{
    return x&(-x);
}
void add(int i,int val)///修改操作,更新C[i],如果A[i]发生改变,那么C[i]节点发生改变,C[i]的祖先也发生改变。
{
    while(i<=n)
    {
        c[i]+=val;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int sum(int i)///计算前i项的和
{
    int s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return s;
}
int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a);
            add(i,a);///输一个数对树状数组修改一次
            for(int i=1;i<=n;i++)
          printf("%d ",c[i]);///输出每次修改后的值
          printf("\n");
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
          printf("%d ",sum(i));
           printf("\n");
    }
    return 0;
}
/*运行结果:
输入
8
1 2 3 4 5 6 7 8
输出
1 1 0 1 0 0 0 1
1 3 0 3 0 0 0 3
1 3 3 6 0 0 0 6
1 3 3 10 0 0 0 10
1 3 3 10 5 5 0 15
1 3 3 10 5 11 0 21
1 3 3 10 5 11 7 28
1 3 3 10 5 11 7 36
1 3 6 10 15 21 28 36
*/

二维树状数组基本操作:

可以求出任意一个子矩阵内的所有元素之和,即sum(x2, y2) - sum(x1-1, y2) - sum(x2, y1-1) + sum(x1-1, y1-1)

int lowbit(int x)///计算2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)
{
    return x&(-x);
}
void add(int x,int y,int d)///修改操作
{
    int i, j;
    for(i = x; i < n; i += lowbit(i))
        for(j = y; j < n; j += lowbit(j))
            c[i][j] += d;
}
int sum(int x,int y)///求前x行前y列的和
{
    int s=0,i,j;
    for(i=x; i>0; i-=lowbit(i))
        for(j=y; y>0; y-=lowbit(j))
            s+=c[i][j];
    return s;
}



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