次小生成树

顾名思义，次小生成树就是第二小的生成树，当然，若果这个树的最小生成树不唯一的话，次小生成树和最小生成树是一样大的。
结论：次小生成树可以由最小生成树换一条边得到（重点）。
首先我们知道，一棵生成树可以通过更换一条边得到另外一棵生成树。假设任意一棵树T0变为最小生成树Tn，过程为T0–>T1–>T2–>–>Tn-1–>Tn。
1.在Ti中选取任意一条不在Tn中的边uv。
2.现在把边uv去掉，就剩下两个连通分量A、B了，但是我们也知道，最小生成树中肯定会有一条边u’v’连接这两个连通分量。
3.显然u’v’不会比uv大，要不然PRIM当时贪心的时候就会选择uv。
所以，综上所述，次小生成树是可以通过改一条边变为次小生成树的。
poj1679

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 105
#define inf 1000000000
#define MAX(x,y) (((x)>(y))?(x):(y))
#define MIN(x,y) (((x)<(y))?(x):(y))
typedef long long LL;
int dis[N],pre[N];
int a[N][N],a2[N][N];
int f[N][N];
bool vis[N];
int ans,n,m,cmin;
void init(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            a[i][j]=a2[i][j]=inf;
        }
    }
    int u,v,c;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
        if(c<a[u][v]){
            a2[u][v]=a2[v][u]=a[u][v];
            a[u][v]=a[v][u]=c;
        }
        else if(c<a2[u][v]){
            a2[u][v]=a2[v][u]=c;
        }
    }
}
int prim(int src){
    ans=0;
    cmin=inf;
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dis[i]=a[src][i];
        pre[i]=src;
    }
    vis[src]=true;
    for (int i = 1; i < n; i++){
        int tmp = inf, k = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++){
            if (!vis[j]&&dis[j]<tmp){
                tmp = dis[j];
                src=pre[j];
                k = j;
            }
        }
        if(tmp==inf) return 1;
        vis[k] = true;
        ans += tmp;
        a[src][k]=inf;
        a[k][src]=inf;
        if(a2[src][k]<inf&&a2[src][k]-tmp<cmin){
            cmin=a2[src][k]-tmp;
        }
        for (int j = 1; j <= n; j++){
            if (!vis[j] &&dis[j]>a[k][j]){
                dis[j] = a[k][j];
                pre[j]=k;
            }
        }
        for(int j=1;j<=n;j++){                 //更新两点之间的最大权值
            if(vis[j]&&j!=src&&j!=k){
                f[j][k]=MAX(f[j][src],tmp);
                f[k][j]=f[j][k];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j&&a[i][j]!=inf){
                cmin=MIN(cmin,a[i][j]-f[i][j]);
            }
        }
    }
    if(cmin==0) return 2;
    else return 0;
}

int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        init();
        if(prim(1)==2)
            printf("Not Unique!\n");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

hdu4081
题意：秦朝有n个城市，需要修建一些道路使得任意两个城市都连通，道士徐福声称可以用法术修路，不花钱，也不用劳力，但是只能修一条路，因此需要慎重选择用法术修那一条路。秦始皇不仅希望其他道路的长度B尽量短，还希望法术连接的两个城市人口之和A尽量大，因此下令寻找一个使A/B尽量大的方案。
解法：用n^2的时间枚举所有的边uv，那么假如我们可以用O（1）的时间算出“包含uv这条边的最小生成树”即可，这样求出所有的uv所对用的A/B，选出最大值。
“包含uv这条边的最小生成树”我们可以用次小生成树的思想，用最小生成树减去maxx(u,v)即可，maxx(u,v)代表着最小生成树上uv两点之间路径的最大的那个边。

/* ID: CaoLei PROG: hdu_4081_次小生成树.cpp LANG: C++ */

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 1010
#define pi acos(-1.0)
#define inf 100000000
#define eps 1e-9
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
struct point{
    int x,y,v;
}p[N];
double a[N][N],maxx[N][N],dis[N];
int n,pre[N];
bool vis[N];
void prim(){
    double ans=0;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(maxx,0,sizeof(maxx));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dis[i]=a[1][i];
        pre[i]=1;
    }
    dis[1]=0;
    vis[1]=true;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int k=0;
        double tmp=inf;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]<tmp){
                k=j;
                tmp=dis[j];
            }
        }
        vis[k]=true;
        ans+=tmp;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]>a[k][j]){
                dis[j]=a[k][j];
                pre[j]=k;
            }
        }
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(vis[j]&&j!=k){
                maxx[j][k]=max(maxx[j][pre[k]],tmp);
                maxx[k][j]=maxx[j][k];
            }
        }
    }
    double an=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j){
                an=max(an,double(p[i].v+p[j].v)/(ans-maxx[i][j]));
            }
        }
    }
    printf("%.2f\n",an);
}

int main(){
    int t;
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].v);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                a[i][j]=sqrt(1.0*(p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x)+1.0*(p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y));
            }
        }
        prim();
    }
    return 0;
}