图论算法之最小生成树 prim//kruskal

图论算法之最小生成树  prim//kruskal

        最小生成树简单的说就是在一个图里选取一些边，使这些边以及它们所连接的结点组成一棵树（两两结点之间可以到达），并且使选取的边的边权最小。

        它的成立条件是图是连通的。并且选取的边数为n-1。（有n个结点，n-1条边，只能为一棵树，没有别的可能）

        主要有两个算法：prim和kruskal

prim

【思路】

        prim算法写起来和dijkstra很像，因为他们的大体思路是一样的。s[i]表示与i相连的所有边的最小值（条件是这条边的另一端点已经是之前扩展过的）。每一次找到s值最小的点，用它去扩展和他相连的所有的边的另一结点，经过n-1此操作，就可以完成对所有点和边的扩展。

【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,i,j,Min,minj,tot;
int a[105][105],s[105];
bool b[105];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (i=1;i<=n;++i)
	  for (j=1;j<=n;++j)
	    scanf("%d",&a[i][j]);
	for (i=1;i<=n;++i)
	  s[i]=0x7777777;
	s[1]=0;
	for (i=1;i<=n-1;++i)
	{
		Min=0x7777777;
		for (j=1;j<=n;++j)
		  if (!b[j]&&s[j]<Min)
		  {
		  	Min=s[j];
		  	minj=j;
		  }
		b[minj]=true;
		for (j=1;j<=n;++j)
		  if (!b[j]&&a[minj][j]<s[j])
		    s[j]=a[minj][j];
	}
	for (i=1;i<=n;++i)
	  tot+=s[i];
	printf("%d",tot);
	return 0;
}

【求出最小生成树中的所有边】

也不是很难想，只要再加一个前驱就行了，最后递归输出；

【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,i,j,Min,minj,tot;
int a[105][105],s[105],pre[105];
bool b[105];

void print(int x)
{
	if (pre[x]==0)
	{
		printf("%d\n",x);
		return;
	}
	print(pre[x]);
	printf("%d\n",x);
	return;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (i=1;i<=n;++i)
	  for (j=1;j<=n;++j)
	    scanf("%d",&a[i][j]);
	for (i=1;i<=n;++i)
	  s[i]=0x7777777;
	s[1]=0;
	for (i=1;i<=n-1;++i)
	{
		Min=0x7777777;
		for (j=1;j<=n;++j)
		  if (!b[j]&&s[j]<Min)
		  {
		  	Min=s[j];
		  	minj=j;
		  }
		b[minj]=true;
		for (j=1;j<=n;++j)
		  if (!b[j]&&a[minj][j]<s[j])
		  {
		  	s[j]=a[minj][j];
		  	pre[j]=minj;
		  }
	}
	for (i=1;i<=n;++i)
	  tot+=s[i];
	printf("%d\n",tot);
	print(n);
	return 0;
}

例：最优布线问题

【问题描述】

　　学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。

    当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。

　　现在由你负责连接这些计算机，任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。

【输入格式】

　　输入文件wire.in，第一行为整数n（2<=n<=100），表示计算机的数目。此后的n行，每行n个整数。第x+1行y列的整数表示直接连接第x台计算机和第y台计算机的费用。

【输出格式】

　　输出文件wire.out，一个整数，表示最小的连接费用。

【输入样例】

　　3

　　0 1 2

　　1 0 1

　　2 1 0

【输出样例】

    2   （注：表示连接1和2，2和3，费用为2）

【解题思路】

prim裸题，直接用上面给的标算都能过。。在此就不粘代码了->_->

kruskal

【算法描述】

需要用到并查集，具体过程如下：

1.初始化并查集。father[x]=x。

2.tot=0

3.将所有边用快排从小到大排序。

4.计数器 k=0;

5.for (i=1; i<=M; i++)      //循环所有已从小到大排序的边

  if  这是一条u,v不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)，

    begin

    　①合并u,v所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。

　    ②tot=tot+W(u,v)

      ③k++

      ④如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break;

    end;

6. 结束，tot即为最小生成树的总权值之和。

【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct hp{
	int x,y,s;
}a[10005];
int n,i,j,dis,num,tot,k;
int father[10005];

int cmp(hp a,hp b)
{
	return a.s<b.s;
}

int find(int x)
{
	if (x==father[x]) return father[x];
	father[x]=find(father[x]);
	return father[x];
}

void merge(int x,int y)
{
	int f1=find(x);
	int f2=find(y);
	father[f1]=f2;
	return;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (i=1;i<=n;++i)
	  for (j=1;j<=n;++j)
	  {
	  	scanf("%d",&dis);
	  	if (dis!=0)
	  	{
	  		num++;
	  		a[num].x=i;
	  		a[num].y=j;
	  		a[num].s=dis;
	  	}
	  }
	for (i=1;i<=n;++i)
	  father[i]=i;
	sort(a+1,a+num+1,cmp);
	for (i=1;i<=num;++i)
	{
		if (find(a[i].x)!=find(a[i].y))
		{
			merge(a[i].x,a[i].y);
			tot+=a[i].s;
			k++;
		}
		if (k==n-1) break;
	}
	printf("%d",tot);
	return 0;
}

【记录路径】

其实并没有什么好说的，加一个bool或者别的什么记录一下，最后按顺序输出即可；

例：最短网络

【问题描述】

　　农民约翰被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过100000。

【输入格式】

第一行：	农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结尾	后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。

【输出格式】

    只有一个输出，其中包含连接到每个农场的光纤的最小长度。

【输入样例】agrinet.in

    4

    0  4  9  21

    4  0  8  17

    9  8  0  16

    21 17 16  0

【输出样例】agrinet.out

28

【解题思路】

kruskal裸题。。。依然是用标算就能过，，，我闲的没事粘上来。。。<-_<-