图论算法之最小生成树 prim//kruskal
图论算法之最小生成树 prim//kruskal
最小生成树简单的说就是在一个图里选取一些边，使这些边以及它们所连接的结点组成一棵树（两两结点之间可以到达），并且使选取的边的边权最小。
它的成立条件是图是连通的。并且选取的边数为n-1。（有n个结点，n-1条边，只能为一棵树，没有别的可能）
主要有两个算法：prim和kruskal
prim
【思路】
prim算法写起来和dijkstra很像，因为他们的大体思路是一样的。s[i]表示与i相连的所有边的最小值（条件是这条边的另一端点已经是之前扩展过的）。每一次找到s值最小的点，用它去扩展和他相连的所有的边的另一结点，经过n-1此操作，就可以完成对所有点和边的扩展。
【代码】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,i,j,Min,minj,tot;
int a[105][105],s[105];
bool b[105];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
scanf("%d",&a[i][j]);
for (i=1;i<=n;++i)
s[i]=0x7777777;
s[1]=0;
for (i=1;i<=n-1;++i)
{
Min=0x7777777;
for (j=1;j<=n;++j)
if (!b[j]&&s[j]<Min)
{
Min=s[j];
minj=j;
}
b[minj]=true;
for (j=1;j<=n;++j)
if (!b[j]&&a[minj][j]<s[j])
s[j]=a[minj][j];
}
for (i=1;i<=n;++i)
tot+=s[i];
printf("%d",tot);
return 0;
}
【求出最小生成树中的所有边】
也不是很难想，只要再加一个前驱就行了，最后递归输出；
【代码】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,i,j,Min,minj,tot;
int a[105][105],s[105],pre[105];
bool b[105];
void print(int x)
{
if (pre[x]==0)
{
printf("%d\n",x);
return;
}
print(pre[x]);
printf("%d\n",x);
return;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
scanf("%d",&a[i][j]);
for (i=1;i<=n;++i)
s[i]=0x7777777;
s[1]=0;
for (i=1;i<=n-1;++i)
{
Min=0x7777777;
for (j=1;j<=n;++j)
if (!b[j]&&s[j]<Min)
{
Min=s[j];
minj=j;
}
b[minj]=true;
for (j=1;j<=n;++j)
if (!b[j]&&a[minj][j]<s[j])
{
s[j]=a[minj][j];
pre[j]=minj;
}
}
for (i=1;i<=n;++i)
tot+=s[i];
printf("%d\n",tot);
print(n);
return 0;
}
例：最优布线问题
【问题描述】
学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。
现在由你负责连接这些计算机，任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。
【输入格式】
输入文件wire.in，第一行为整数n（2<=n<=100），表示计算机的数目。此后的n行，每行n个整数。第x+1行y列的整数表示直接连接第x台计算机和第y台计算机的费用。
【输出格式】
输出文件wire.out，一个整数，表示最小的连接费用。
【输入样例】
3
0 1 2
1 0 1
2 1 0
【输出样例】
2 （注：表示连接1和2，2和3，费用为2）
【解题思路】
prim裸题，直接用上面给的标算都能过。。在此就不粘代码了->_->
kruskal
【算法描述】
需要用到并查集，具体过程如下：
1.初始化并查集。father[x]=x。
2.tot=0
3.将所有边用快排从小到大排序。
4.计数器 k=0;
5.for (i=1; i<=M; i++) //循环所有已从小到大排序的边
if 这是一条u,v不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)，
begin
①合并u,v所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。
②tot=tot+W(u,v)
③k++
④如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break;
end;
6. 结束，tot即为最小生成树的总权值之和。
【代码】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct hp{
int x,y,s;
}a[10005];
int n,i,j,dis,num,tot,k;
int father[10005];
int cmp(hp a,hp b)
{
return a.s<b.s;
}
int find(int x)
{
if (x==father[x]) return father[x];
father[x]=find(father[x]);
return father[x];
}
void merge(int x,int y)
{
int f1=find(x);
int f2=find(y);
father[f1]=f2;
return;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
{
scanf("%d",&dis);
if (dis!=0)
{
num++;
a[num].x=i;
a[num].y=j;
a[num].s=dis;
}
}
for (i=1;i<=n;++i)
father[i]=i;
sort(a+1,a+num+1,cmp);
for (i=1;i<=num;++i)
{
if (find(a[i].x)!=find(a[i].y))
{
merge(a[i].x,a[i].y);
tot+=a[i].s;
k++;
}
if (k==n-1) break;
}
printf("%d",tot);
return 0;
}
【记录路径】
例：最短网络
【问题描述】
农民约翰被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最短的光纤去连接所有的农场。你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过100000。
【输入格式】
|
第一行：
|
农场的个数，N（3<=N<=100）。
|
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第二行..结尾
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后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
|
【输出格式】
只有一个输出，其中包含连接到每个农场的光纤的最小长度。
【输入样例】agrinet.in
4
0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0
【输出样例】agrinet.out
28
【解题思路】
kruskal裸题。。。依然是用标算就能过，，，我闲的没事粘上来。。。<-_<-