如何赢得数学游戏（博弈问题）

数学游戏（博弈问题）是最优化问题中的一类，同时它也是一类很有趣的逻辑推理问题。其中运用最广的思维是：倒推思维。

例1．桌子上有24根火柴，甲、乙两人轮流取，每人每次取1—3根。谁取到最后一根谁就获胜。甲该怎样取才能保证获胜？

解析：甲要获胜，就要拿到第24根火柴；要想拿到第24根火柴，必须先拿到第20根；要想拿到第20根，必须先拿到第16根，同理可推出，甲必须先拿到第12、8、4根，甲才获胜。所以，解决办法是，①让乙先拿，②甲后拿的根数=（1+3）-乙取的根数。

有意思的是：24÷（1+3）正好没有余数。

思考：如果桌子上有25根或26根火柴，甲要获胜又该如何？（有余数，甲先拿）

归纳：经过上面两题思考分析，我们发现：①取的先后次序是由总数除以取的规则中最少数与最多数的和所得到的余数来决定：余数是0，获胜方要让对方先取；余数不是0，获胜方要先取②获胜方每次取的数量和对方取的数量之和应该是取的规则中最少与最多数之和。！！！！！

练习：

1．两人轮流报数，每次报一个数，但报出的数只能是1—8的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累计和达到80，谁就胜。问怎样才能确保获胜？（80%9 ！= 0则让自己先取，可获胜）

例2．桌子上有两堆火柴，一堆有8根，一堆有10根；甲、乙两人轮流从其中任意一堆中取出任意根，每次至少要取1根，而且不能同时从两堆里取，谁最后把火柴取完，谁就获胜，甲该怎样才能保证获胜？

解析：甲要获胜，甲最后取之时，桌子上只能剩下一堆火柴；由于取的根数不限，所以，除最后一次，乙每次取完后桌上要有两堆。为保证以上情况出现，甲应先从10根一堆中取走2根，这时两堆一样多，在以后的取的过程中，乙取多少根，甲就从另一堆中取相同的根数，甲必胜。！！！

思考：如果两堆都是8根，甲又该如何做才能保证获胜？（让乙先取）

归纳：如果两堆一样多，后取者胜取的数目应与先取者一样多，而且要在不同于先取者取的堆中取（即从另一堆中取相同数目）；如果两堆不一样多，先取者应在多的一堆中，取走两堆数目相差数，然后在不同于后取者取的取中取（即从另一堆中取相同数目），先取者胜。！！！

例3．在黑板上写下数2、3、4、、、、1990，甲先擦去其中一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去。若最后剩下两个互质数时，甲胜；若最后剩下两个数不互质，乙胜。甲如何获胜？

解析：这一列数是连续的自然数，共1989个数，其中偶数995个，奇数994个，而且我们知道，相邻的两个连续自然数是互质数。我们可以从最简单情况入手分析，然后归纳出方法。

比如这列数只有2、3、4、5、6这五个数，3偶2奇。甲可以先擦掉2，把剩下的数按相邻位置分为（3、4）（5、6）两组，乙随便擦任意一组的任意一个数，甲就擦该组中的另一个数，这样剩下的两个数由于是连续的自然数，必是互质数。同理，甲也可擦去4或6。可见甲必须先擦去一个偶数，使剩下的偶数和奇数一样多，并且一定要相邻。！！！！

所以，该题中，甲可以先擦去2，把剩下的数按相邻位置分为若干组，每组都是相邻的一个奇数和一相偶数。如（3、4）。如果乙擦一组中的奇数，甲就擦去该组中另一个偶数，如果乙擦去一组中的偶数，甲就擦去该组中的另一个奇数。如此下去993次后，就只剩下相邻的一奇一偶，它们必互质，甲就获胜。

例4．两人轮流在往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，不能叠放，谁放完最后一枚谁获胜。那么先放者还是后放者胜？如何取胜？

解析：桌面是个中心对称图形，即找好一个中心后，你任选一个位置，总能在以这个中心对称的另一侧找到一个位置。所以，先放者把第一枚硬币放在桌面的中间位置，然后后放者放下一枚硬币后，先放者在以这个中心对称的另一侧放硬币。甲必胜。

练习：几个减号排成一行，a、b两人轮流将减号改成加号，每次可改一个或相邻的两个，谁将最后剩下的减号改为加号谁获胜，那么a取胜的策略是什么？

例5．如图，在一个8×8的方格表的左下角有一枚棋子，甲乙两人轮流移动，规定每次可向右或向上移动任意格（即一次只能选一个方向），谁先移动到右上角的阴影方格为胜。试问在正确的玩法下谁胜？是先移者还是后移者？

解析：观察图中的对角线，凡对角线上的方格都不可能直接到达终点（题中有游戏规则），但却都能到达最右边一列和最上边一行的方格，再从它们出发就能到达终点。所以，要想获胜，必须始终占据对角线上的方格。可见，是后移者胜。

练习：
1．1998个空格排成一排，第一个格中放有一枚棋子，现有两人做游戏，轮流移动棋子，每人每次可前移1—4格。谁先移到最后一格，谁为胜者。问怎样的移法才能确保获胜？

2．54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1—4张，谁取最后一张谁输，先拿牌的人保证获胜的策略是什么？

3．甲乙两人轮流在3×3格内写1、3、4、5、6、7、8、9、10这九个数中的一个。数字不能重复，最后甲的得分是上下两行六个数字之和，乙的得分是左右两列六个数字之和，得分多者为胜。问如何取胜。

4．甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定禁止写已写过的数约数，最后不能再写的为失败者。问如何取胜。