欧拉函数

小结论：

好多数学概念，都牵扯到欧拉，到底什么是欧拉，仔细思考这些用  欧拉  命名的概念，都有一个共同点：

利用现有的通过迭代，求出后来的。

题目地址：

http://hihocoder.com/contest/hiho96/problem/1

欧拉函数：

小Hi：刚刚我所描述的φ(n)，一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。

小Ho：又是欧拉么！

小Hi：毕竟是伟大的数学家，所以以他名字命名的东西很多啦。

对于φ(n)，我们有这样三个性质：

(1) 若n为素数，则φ(n) = n - 1

显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。

(2) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：

p^k-1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)

(3) 若p和q互质，则φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

对于所有小于pq的整数u，可以表示为u=aq+r。(a=0,1,2,...,p-1，r=0,1,...,q-1)。

对于u = aq + r, 设R = u mod p，0≤R<q。对于一个固定的r，设a1, a2满足0 <= a1, a2 < p且a1≠a2，有：

u1 = a1*q+r, u2 = a2*q+r
u1-u2=(a1-a2)*q

因为p与q互质，且|a1-a2|<p，则|u1-u2|一定不是p的倍数。

所以对于每一个固定的r，其对应的p个u = a*q+r(a=0,1,2,...,p-1)对mod p来说余数都不相同，即u mod p的结果恰好取遍0,1,...,p-1中的每一个数。

下面我证明一个引理：u mod p与p互质 <=> u与p互质，其证明如下：

假设a,b互质,c = a mod b。
假设c与b不互质，则存在d≥1，使得c=nd, b=md。
由于c = a mod b，因此a = kb + c，
则a = kmd + nd = (kn+m)d
因此d是a,b的公因数，与a,b互质矛盾。
假设不成立，所以c与b互质。

因此对于任意一个确定的r，与其对应的p个u中恰好有φ(p)个与p互质。

同理，由u = aq + r知r与q互质 <=> u与q互质。因此在0..q-1中恰好有φ(q)个r使得u与q互质。

综上，当r与q互质的情况下，固定r可以得到φ(p)个与p和q都互质的数。

满足条件的r一共用φ(q)个，所以一共能找到有φ(p) * φ(q)个与p和q都互质的数。

由此得证：φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

这一段证明不是太好理解，小Ho你一定要自己推导一遍哦。

小Ho：好。

小Hi：在上面这些性质的基础上我们能到推导出两条定理：

若p为质数，n为任意整数：

(1) 若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p

若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。

显然有p^k与m互质，则：

φ(n) = φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)
φ(n*p) = φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p =  φ(n) * p

(2) 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)

由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)

根据这两条定理，当我们得到一个n时，可以枚举质数p来递推的求解φ(n*p)。这一步是不是觉得很眼熟呢？

小Ho：嗯...我想起了，这不是我们使用欧拉筛法时一样的算法么？

小Hi：没错！因此我们只需要在欧拉筛代码的基础上做一个小改动，就可以得到递推求解φ(n)的算法：

isPrime[] = true
primeList = []
phi = []	// phi[n]表示n的欧拉函数
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		primeList[ primeCount ] = i
		phi[i] = i - 1 // 质数的欧拉函数为p-1
	End If 
	For j = 1 .. primeCount
		If (i * primeList[j] > N) Then
			Break
		End If
		isPrime[ i * primeList[j] ] = false
		If (i % primeList[j] == 0) Then
			// primeList[j]是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * p
			phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * primeList[j];
			Break
		Else 
			// primeList[j]不是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * (p-1)
			phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * (primeList[j] - 1);
		End If
	End If
End For

小Ho：因为欧拉筛的时间复杂度是O(n)的，因此求出一个大区间内所有数的欧拉函数也只用了O(n)的时间。接下来再使用O(n)的枚举就可以求得最小的K了。我知道该怎么做了！

AC代码：

/*************************************************************************
	> File Name: hiho96_1.cpp
	> Author: Fan Deliang
	> Mail: [email protected]
	> Created Time: 2016年05月07日 星期六 11时52分13秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<map>
#include<list>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>

#define ll long long
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define m(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MAX 0x3f3f3f3f
const ll MOD=1e9+7;

using namespace std;
int phi[5000500];
int prime_list[550000];
bool isprime[5000500];
int main()
{
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    int count=1;
    f(i,2,r){
        if(isprime[i]){
            prime_list[count++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        f(j,1,count){
            if(i*prime_list[j]>r)
            break;
            isprime[i*prime_list[j]]=0;
            if(i%prime_list[j]==0){
                phi[i*prime_list[j]]=phi[i]*prime_list[j];
                break;
            }
            else {
                phi[i*prime_list[j]]=phi[i]*(prime_list[j]-1);
            }
        }
    }
    int min=phi[l];
    int k=l;
    f(i,l+1,r){
        if(phi[i]<min){
            min=phi[i];
            k=i;
        }
    }
    cout<<k<<endl;
    return 0;
}

收获：

1,掌握了素数筛法。

2.掌握了利用素数筛法改编成的求欧拉函数的方法。