背包之01背包、完全背包、多重背包详解(转)

首先说下动态规划,动态规划这东西就和递归一样,只能找局部关系,若想全部列出来,是很难的,比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2,再把最后一层移动到3,最后再把其余的从2移动到3,这是一个直观的关系,但是想列举出来是很难的,也许当层数n=3时还可以模拟下,再大一些就不可能了,所以,诸如递归,动态规划之类的,不能细想,只能找局部关系。

(引至杭电课件:DP最关键的就是状态,在DP时用到的数组时,也就是存储的每个状态的最优值,也就是记忆化搜索)

要了解背包,首先得清楚动态规划:

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:

1. 描述一个最优解的结构; 

2. 递归地定义最优解的值; 

3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值;

4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。 

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值,则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包 在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态 

首先我们把三种情况放在一起来看:

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包, 每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,第i种物品最多有n[i]件可用。每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

比较三个题目,会发现不同点在于每种背包的数量,01背包是每种只有一件,完全背包是每种无限件,而多重背包是每种有限件。

先来分析01背包:

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包,每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下:

在前i件物品放进容量v的背包时,它有两种情况

情况一: 第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v]

情况二: 第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i] 

第二种是什么意思?就是如果第i件放进去,那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品)

最后比较第一种与第二种所得价值的大小,哪种相对大,f[i][v]的值就是哪种。 (这里是重点,理解!)

这里是用二维数组存储的,可以把空间优化,用一维数组存储。

用f[0..v]表示,f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后,最后f[v]表示所求最大值。

这里f[v]就相当于二维数组的f[i][v]。那么,如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]?(重点!思考)

首先要知道,我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。

即:for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值,而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值?

逆序

这就是关键!

for i=1..N
   for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

分析上面的代码:当内循环是逆序时,就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的!这里给大家一组测试数据: 测试数据: 10,3 3,4 4,5 5,6
背包之01背包、完全背包、多重背包详解(转)_第1张图片
图2: 01背包图(1)

这个图表画得很好,借此来分析:

C[v]从物品i=1开始,循环到物品3,期间,每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。

(请在草稿纸上自己画一画)
这里以一道题目来具体看看:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码:http://www.wutianqi.com/?p=533

分析:
背包之01背包、完全背包、多重背包详解(转)_第2张图片
图2: 01背包图(2)
具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础,看懂上面的知识应该就会做了。

完全背包:

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示

伪代码如下

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

顺序

想必大家看出了和01背包的区别,这里的内循环是顺序的,而01背包是逆序的。

现在关键的是考虑:为何完全背包可以这么写?

在此我们先来回忆下,01背包逆序的原因?是为了是max中的两项是前一状态值,这就对了。 那么这里,我们顺序写,这里的max中的两项当然就是当前状态的值了,为何? 因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时,f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值,这里我们要添加的不是前一个背包,而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。

这里同样给大家一道题目:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代码:http://www.wutianqi.com/?p=535

多重背包

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则有状态转移方程:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

这里同样转换为01背包:

思路 1、直接对每一件物品进行拆分成min(Num[i],V/Weight[i])件,之后在拆分后的集合上进行01背包的求解。

时间复杂度:和基本思路一样,没有降低。

思路 2、采用二进制拆分的思想。对每i件物品,拆分的策略为:新拆分的物品的重量等于1件,2件,4件,..,(2^(k - 1)),Num[i] - (2^(k - 1))件,其中k 是满足Num[i] - 2^k + 1 > 0 的最大整数。

注意,

(1)最后一个物品的件数的求法和前面不同,其直接等于 该物品的最大件数 - 前面已经分配之和。

(2)分成的这几件物品的系数和为Num[i],表明第i种物品取的件数不能多于Num[i]。

举例:某物品为13件,则其可以分成四件物品,其系数为1,2,4,6.这里k = 3。

当然,这里使用二进制的前提还是使用二进制拆分能保证对于0,,,Num[i]间的每一个整数,均可以用若干个系数的和表示。
具体使用时,有一个小优化,即:

我们不对所有的物品进行拆分,因此物品一旦拆分,其物品个数肯定增加,那么复杂度肯定上去。

此时,我们可以选择性地对物品进行拆分:

(1)如果第i个物品的重量Weight[i] * 物品的个数Num[i] >= 背包总重量V,可以不用拆分。

(2)如果第i个物品的重量Weight[i] * 物品的个数Num[i] < 背包总重量V,可以不用拆分。

其实,拆不拆分,就看该物品能不能满足完全背包的条件。即,看该物品能不能无限量供应。

解释:为啥满足Weight[i] * 物品的个数Num[i] >= 背包总重量V的物品可以不用拆分?

此时,满足该条件时,此物品原则上是无限供应,直到背包放不下为止。

最终,对于不需要拆分的物品,可以看出完全背包的情况,调用处理完全背包物品的函数。对于需要拆分的物品,可以看出01背包的情况,调用处理01背包物品的函数。

这样,由于不对满足完全背包的物品进行拆分,此时物品个数就没有对所有物品拆分时的物品个数多,即程序中外层循环降低,复杂度也就下去了。

给出一个例题:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

代码:http://www.wutianqi.com/?p=537

以上内容转自http://www.wutianqi.com/?p=539

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