最优贸易（codevs 1173）题解

【问题描述】

C 国有n 个大城市和m 条道路，每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城市的标号从1~ n，阿龙决定从1 号城市出发，并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。假设 C 国有5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2 号城市以3 的价格买入水晶球，在3号城市以5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格买入水晶球，在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

【样例输入】

    5 5
    4 3 5 6 1
    1 2 1
    1 4 1
    2 3 2
    3 5 1
    4 5 2

【样例输出】

    5

【解题思路】

本题为NOIP2009第三题，主要思想还是求最短路径，只不过这道题数据范围过大，我们需要用邻接表存储数据。实际上这里我们求最短路径是求最小价格和最大价格，我们需要求两遍最短路径，一遍求从1到该城市路经的水晶球的最小价格，另一遍求该城市到n路经的水晶球的最大价格，然后把每一个城市搜一遍，比较最小值和最大值即可。

那么，我们就可以想到用两个邻接表，一个正着存边，一个倒着存边。那么在求最短路径的时候需要注意，应该是当前的路径上记录下来的最小价格（最大价格）与扩展的城市的价格之间更小（大）的一个数比记录下来的小（大）就需要扩展，详见代码。

【代码实现】

  1 uses math;
  2 type rec=record
  3      c,next:longint;
  4 end;
  5 var e,e1:array[1..500000] of rec;
  6     g,g1:array[1..100000] of rec;
  7     n,m,efree,i,a,b,c,ans,efree1:longint;
  8     f:array[1..100000] of boolean;
  9     d1,dn,s:array[1..100000] of longint;
 10 procedure ins(y:longint;var p:rec);
 11 begin
 12  e[efree].c:=y;
 13  e[efree].next:=p.next;
 14  p.next:=efree;
 15  inc(efree);
 16 end;
 17 procedure ins1(y:longint;var p:rec);
 18 begin
 19  e1[efree1].c:=y;
 20  e1[efree1].next:=p.next;
 21  p.next:=efree1;
 22  inc(efree1);
 23 end;
 24 procedure spfa;
 25 var i,v,u,h,t:longint;
 26     q:array[1..100000] of longint;
 27 begin
 28  d1[1]:=s[1];
 29  f[1]:=true;
 30  h:=0;
 31  t:=1;
 32  q[1]:=1;
 33  while h<>t do
 34   begin
 35    h:=(h mod 100000)+1;
 36    v:=q[h];
 37    f[v]:=false;
 38    i:=g[v].next;
 39    while i<>-1 do
 40     begin
 41      u:=e[i].c;
 42      if min(d1[v],s[u])<d1[u] then
 43       begin
 44        d1[u]:=min(s[u],d1[v]);
 45        if not f[u] then
 46         begin
 47          f[u]:=true;
 48          t:=(t mod 100000)+1;
 49          q[t]:=u;
 50         end;
 51       end;
 52      i:=e[i].next;
 53     end;
 54   end;
 55 end;
 56 procedure spfa1;
 57 var i,v,u,h,t:longint;
 58     q:array[1..100000] of longint;
 59 begin
 60  dn[n]:=s[n];
 61  f[n]:=true;
 62  h:=0;
 63  t:=1;
 64  q[1]:=n;
 65  while h<>t do
 66   begin
 67    h:=(h mod 100000)+1;
 68    v:=q[h];
 69    f[v]:=false;
 70    i:=g1[v].next;
 71    while i<>-1 do
 72     begin
 73      u:=e1[i].c;
 74      if max(dn[v],s[u])>dn[u] then
 75       begin
 76        dn[u]:=max(dn[v],s[u]);
 77        if not f[u] then
 78         begin
 79          f[u]:=true;
 80          t:=(t mod 100000)+1;
 81          q[t]:=u;
 82         end;
 83       end;
 84      i:=e1[i].next;
 85     end;
 86   end;
 87 end;
 88 begin
 89  readln(n,m);
 90  for i:=1 to n do
 91   begin
 92    g[i].next:=-1;
 93    g1[i].next:=-1;
 94   end;
 95  efree:=1;
 96  efree1:=1;
 97  for i:=1 to n do
 98   begin
 99    read(s[i]);
100    d1[i]:=maxlongint;
101   end;
102  for i:=1 to m do
103   begin
104    readln(a,b,c);
105    case c of
106     1:
107      begin
108       ins(b,g[a]);
109       ins1(a,g1[b]);
110      end;
111     2:
112      begin
113       ins(b,g[a]);
114       ins(a,g[b]);
115       ins1(a,g1[b]);
116       ins1(b,g1[a]);
117      end;
118    end;
119   end;//两个邻接表，注意单向路和双向路
120  spfa;
121  fillchar(f,sizeof(f),false);
122  spfa1;
123  for i:=1 to n do
124   if dn[i]-d1[i]>ans then
125    ans:=dn[i]-d1[i];
126  writeln(ans);
127 end.