HDU 4767 Bell (中国剩余定理)

斯特灵数[编辑]

维基百科，自由的百科全书

在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。

第一类[编辑]

s(4,2)=11

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是个元素的项目分作个环排列的方法数目。常用的表示方法有。

换个较生活化的说法，就是有个人分成组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如：

1. {A,B},{C,D}
2. {A,C},{B,D}
3. {A,D},{B,C}
4. {A},{B,C,D}
5. {A},{B,D,C}
6. {B},{A,C,D}
7. {B},{A,D,C}
8. {C},{A,B,D}
9. {C},{A,D,B}
10. {D},{A,B,C}
11. {D},{A,C,B}

这可以用有向图来表示。

• 给定，有递归关系

递推关系的说明：考虑第n+1个物品，n+1可以单独构成一个非空循环排列，这样前n种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(n,k-1)；也可以前n种物品构成k个非空循环排列，而第n+1个物品插入第i个物品的左边，这有n*s(n,k)种方法。

是调和数的推广。

是递降阶乘多项式的系数：

第二类[编辑]

第二类Stirling数是个元素的集定义k个等价类的方法数目。常用的表示方法有。

换个较生活化的说法，就是有个人分成组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

1. {A,B},{C,D}
2. {A,C},{B,D}
3. {A,D},{B,C}
4. {A},{B,C,D}
5. {B},{A,C,D}
6. {C},{A,B,D}
7. {D},{A,B,C}

因此。

• 给定，有递归关系
• 递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空集合，此时前n-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合， 方法数为S(n-1,k-1)；也可以前n-1种物品构成k个非空的不可辨别的 集合，第n个物品放入任意一个中，这样有k*S(n-1,k)种方法。

是二项式系数，B_n是贝尔数。

两者关系[编辑]

是克罗内克尔δ。

3个分类：

• 置换
• 整数数列
• 阶乘与二项式主题

 

HDU 4767 Bell (中国剩余定理)

分类： ACM_数论and数学类 ACM_HDU 2013-09-28 20:48  84人阅读  评论(0)  收藏  举报

题意：

Bell(n)是基数为n的集合的划分方法数。例如n = 3

{1, 2, 3}

{1}  {2, 3}

{1, 2} {3}

{1, 3} {2}

{1} {2} {3}

所以Bell(3) = 5

给你一个n，求Bell(n) % 95041567的值

解题思路：

首先知道Bell(n) = S(n, 1) + S(n, 2) + ... S(n, n)，S为第二类斯特灵数

然后google到结论。。 ：若p为任意质数，则有Bell(n+p) = Bell(n) + Bell(n+1) (mod  p)。

然后可以发现95041567分解质因子后为 31 * 37 * 41 * 43 * 47...都为质数。

利用矩阵二分幂可以很容易得到 Bell(n) % p (p = 31, 37, 41, 43, 47)的各个值，现在问题就变成了这种模型

X = a[i] (mod m[i])  (m[i]为质数)，求X mod (m[1]*m[2]...m[k])的值。也就是中国剩余定理的应用了。具体见代码

 #include <stdio.h>

 int Md[] = {31, 37, 41, 43, 47};
 int s[6][55][55], w[6][55];

 // 第二类斯特灵数的预处理
 void init() {
     for(int i = 0;i < 5;i ++)
         s[i][0][0] = 1;
     for(int i = 1;i <= 50; i++) {
         for(int j = 0;j < 5;j ++)
             s[j][i][1] = 1;
         for(int j = 1;j <= i; j++) {
             for(int k = 0;k < 5; k++)
                 s[k][i][j] = (s[k][i-1][j-1] + j*s[k][i-1][j])%Md[k];
         }
         for(int j = 0;j < 5; j++) {
             w[j][i] = 0;
             for(int k = 1;k <= i; k++)
                w[j][i] = (w[j][i] + s[j][i][k])%Md[j];
         }
     }
 }

 // 矩阵二分幂
 int pow_mod(int id, int n, int mod) {
     int a[55], aa[55], q[55][55], qq[55][55];
     int sz = Md[id] + 1;
     for(int i = 1;i <= sz+1; i++)
         for(int j = 1;j <= sz+1; j++)
             q[i][j] = 0;
     for(int i = 1;i < sz; i++)
         q[i+1][i] = 1;
     q[2][sz] = q[3][sz] = 1;
     for(int i = 1;i <= sz; i++)
         a[i] = w[id][i];
     if(n <= Md[id]) return a[n];
     n --;
     while(n) {
         if(n & 1) {
             for(int i = 1;i <= sz; i++) {
                 aa[i] = 0;
                 for(int j = 1;j <= sz; j++) {
                     aa[i] += a[j]*q[j][i];
                 }
             }
             for(int i = 1;i <= sz; i++)
                 a[i] = aa[i]%mod;
         }
         for(int i = 1;i <= sz; i++) {
             for(int j = 1;j <= sz; j++) {
                 qq[i][j] = 0;
                 for(int k = 1;k <= sz; k++) {
                     qq[i][j] += q[i][k]*q[k][j];
                 }
                 qq[i][j] %= mod;
             }
         }
         for(int i = 1;i <= sz; i++)
             for(int j = 1;j <= sz; j++)
             q[i][j] = qq[i][j];
         n /= 2;
     }
     return a[1];
 }
 // 扩展欧几里得
 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
     if(!b) {
         x = 1; y = 0;
         return a;
     }
     int ret = exgcd(b, a%b, y, x);
     y -= a/b*x;
     return ret;
 }

 // 中国剩余定理
 int china(int n, int a[], int m[]) {
     int M = 1;
     for(int i = 0;i < n; i++) M *= m[i];
     int ret = 0;
     for(int i = 0;i < n; i++) {
         int w = M/m[i], x, y;
         int d = exgcd(w, m[i], x, y);
         ret = (ret + x*w*a[i])%M;
     }
     return (ret + M)%M;
 }

 int x[55];
 int main() {
     init();
     int t, n;
     scanf("%d", &t);
     while(t--) {
         scanf("%d", &n);
         for(int i = 0;i < 5;i ++) {
             // 求Bell(n) % 各个质数的值
             x[i] = pow_mod(i, n, Md[i]);
         }
         int ans = china(5, x, Md);
         printf("%d\n", ans);
     }
 }