博弈论简析

1.巴斯博弈（Bash Game）：有一堆物品共n个，两名游戏者轮流从这堆物品中取物，游戏规则为每次至少取一个，最多取m个。最后将物品取完的player获胜。

分析：当 n % ( m+1 ) != 0 时，先取物品的游戏者必胜，取法为第一次先取走 n % ( m+1 ) 个物品，以后每个回合保持两个游戏者拿走的物品和为 m+1 即可。

变相玩法：两人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁可以报到100则获胜。

2.威佐夫博弈（Wythoff Game）：有两堆物品各有若干个，两名游戏者轮流从某一堆中取物或同时从两堆中取同样数目的物品，游戏规则为每次至少取一个物品，现有物品数目范围内不设上限，最后将物品取完的player获胜。

分析：假设现有player甲和player乙，其中甲先取。如果甲面对（0，0），那么甲已经输了。同理局势分别为（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）时，甲最终也会输，我们将这些局势称为奇异局势,也即当先取者面临奇异局势时结果是取物失败。经分析我们可以看出,若设( a0 , b0 ) = ( 0 , 0 ), 则ak是未在前面出现过的最小自然数,bk=ak+k.

对于任给的一个局势（a，b），可利用如下公式判断其是否为奇异局势：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k  （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)。于是可先求出 k = bk-ak. 若ak ==[k*（1+√5）/2]，那么( a , b )就是奇异局势。

3.尼姆博弈（Nimm Game）：有三堆物品各若干个，两名游戏者轮流从某一堆物品中取任意多个，游戏规则为每次至少取一个，现有物品数目范围内不设上限，最后将物品取完的player获胜。

分析：对于任何奇异局势(a,b,c)，都有a^b^c=0，此时，先取物的player将失败。为了将 非奇异局势(a,b,c)(a<b<c)转换为奇异局势，我们只需将c变为a^b，也即从c中减去c-(a^b)。

（注：以上游戏均假设两名游戏者每个回合采取最好的游戏策略。）

实例（POJ1067）

//Time：0ms
//Memory：144k
//Date：2015.03.23

#include <stdio.h>
#define GoldenRatio (1+sqrt(5.0))/2.0

int Wythoff(int a,int b){
    int k,temp;
    if(a>b){
        temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    k=b-a;
    if(a==(int)(k*GoldenRatio))
        return 0;
    else
        return 1;
}
void main(){
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
        printf("%d\n",Wythoff(a,b));
}