BZOJ 3612 HEOI2014 平衡 递推

题目大意：给定一个杠杆，一共2n+1个位置，每个上面有一个质点，求拿走k个质点后使杠杆仍然保持平衡的方案数 mod p的值

n<=1W k<=10

令f[n][m]表示n个数划分为m个互不相同的数且最大不超过k的数的方案数

如果最小的数是1 等价于将最下方一排砍掉的方案数 即f[n-m][m-1]

如果最小的数不是1 等价于将最下方一排砍掉的方案数 即f[n-m][m]

但是这样求出的是最大不超过k+1的方案数 因此我们还要减掉最大等于k+1的方案数

最大等于k+1的方案数等价于将最右一排砍掉后最大不超过k的方案数 即f[n-k-1][m-1]

故有f[n][m]=f[n-m][m]+f[n-m][m-1]-f[n-k-1][m-1]

于是我们分是否取走中间的质点两种情况讨论，每次枚举左右的力矩和，枚举左右拿走的质点数即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 100100
using namespace std;
int n,k,p;
int f[M][15];
//f[n][m]表示将n划分成m个互不相同且最大不超过k的数的方案数
int main()
{
	int T,i,j;
	f[0][0]=1;
	for(cin>>T;T;T--)
	{
		cin>>n>>k>>p;
		for(i=1;i<=n*k;i++)
			for(j=1;j<=k;j++)
			{
				f[i][j]=0;
				if(i>=j) f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-j][j-1];
				if(i>=n+1) f[i][j]-=f[i-n-1][j-1];
				f[i][j]=(f[i][j]+p)%p;
			}
		int ans=0;
		for(i=1;i<=n*k;i++)
			for(j=0;j<=k;j++)
				ans+=f[i][j]*f[i][k-j],ans%=p;
		k--;
		for(i=0;i<=n*k;i++)
			for(j=0;j<=k;j++)
				ans+=f[i][j]*f[i][k-j],ans%=p;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}