poj 1061 (解线性同余方程)

 

poj 1061 (解线性同余方程)

分类： 数论 2013-10-10 12:17  86人阅读  评论(0)  收藏  举报

百度 ACM 编程 算法 数论

思路：列出公式：设跳了a次后相遇，则

(x+am)%L=(y+bn)%L

(a(m-n))%L=(y-x)%L

就是解同余方程a*c≡d(L);

解线性同于方程：

ax≡b (mod n)的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的 最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b）。

在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中，恰有 d 个解。

对于线性 同余方程

ax ≡ b (mod n)      (1)

若 d = gcd(a, n)，d  整除 b ，那么b/d为整数。由 裴蜀定理，存在整数对 (r,s) （可用 辗转相除法求得）使得 ar+sn=d，因此 x0=rb/d是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于n/d与 x 同余。即x≡x0+(n/d)*t (mod n)    (0≤t≤d-1)。

举例来说，方程

12x ≡ 20 (mod 28)

中 d = gcd(12,28) = 4 。注意到 4 = 12 *(-2)+28*1，因此 x0≡5*(-2)≡-10≡4(mod 7)是一个解。对模 28 来说，t=1,x≡4+(28/4)*1≡11 (mod 28)；t=2,x≡4+(28/4)*2≡18 (mod 28)；t=3,x≡4+(28/4)*3≡25 (mod 28)  。所有的解就是 {4,11,18,25} 。

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 typedef __int64 LL;
 LL x,y,m,n,L,q,x1,y1;
 void  exgcd(LL a,LL b)
 {
     if(b==0)
     {
         q=a;x1=1;y1=0;return;
     }
     else
     {
         exgcd(b,a%b);
         LL temp=x1;
         x1=y1;
         y1=temp-a/b*x1;
     }
 }
 int main()
 {
     int i,j;
     LL a,b,c;
     while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&L)!=-1)
     {
         b=m-n;c=y-x;
         exgcd(b,L);
         if(c%q!=0)
         {
             printf("Impossible\n");
             continue;
         }
         a=x1*c/q;
         a%=L;
         if(a<0)a+=L;//求出来的值可能为负数
         printf("%I64d\n",a);
     }
     return 0;
 }