[筛法]个人对筛法的理解

筛法的引入

首先我们给出一个问题： 求1～N以内的所有质数
最朴素的算法是一一枚举 1～N以内的数，验证是否为素数
一般来说我们验证素数的代价是O(N−−√)（当然你也可以用赌徒算法），这样我们解决这个问题就需要O(NN−−√)的代价
那么我们能否做的更好呢？
我们需要的就是筛法

朴素的筛法： Eratosthenes 筛法

由唯一分解定理我们知道，一个合数总是能分解为若干个质数的乘积，因此我们产生这样一个想法：把所有是质数倍数的数都去掉（假如一开始我只知道2是质数），那么剩下的就是质数了。
基于这一想法，我们创造了 Eratosthenes 筛法
代码如下：

memset(check, false, sizeof(check))
int tot = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
    if (! check[i]){
        prime[tot ++] = i;
        for (int j = i * 2; j <= N; j++) check[j] = true;
    }

那么这么做的时间复杂度如何呢？
显然复杂度 T(n)=∑p≤nnp=n∑p≤n1p
那么问题就在于 n以内的质数的倒数和是多少
显然这个比调和级数小（即所有数的倒数和），调和级数又比 ln小（由积分可以知道） ，所以这至多是一个 O(nlnn) 的算法
具体更为精细的分析， Euler 在他的论文里就指出
∑p≤n1p=lnlnn
因此 Eratosthenes筛法 的复杂度是 O(nlnlnn)
注：同样我们可以发现一个数 n不断地开根号取整最多开loglogn次 ，我没有发现两者之间的联系，如果有人发现的话请务必告诉我

线性的筛法： Euler 筛法

Euler筛法 基于这样一个想法：每个数只被筛去一次，如果我能做到这一点，那么显然这样的筛法就是 O(n)的
具体做法我们先看代码：

memset(check, false, sizeof(check));
int tot = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++){
    if (!check[i]) prime[tot++] = i;
    for (int j = 0; j < tot; j++){
        if (i * prime[j] > N) break;
        check[i * prime[j]] = true;
        if (i % prime[j] == 0) break;
    }
}

Euler筛每次都把当前的i与素数表prime里的素数pj相乘，我们设i的最小质因子是p′，那么在pj<p′时，pj都是pj∗i这个数的最小质因子，我们将它筛去，一旦发现pj=p′，也就是pj|i的时候，就意味着如果pj再变大，p′就将成为pj∗i的最小质因子，之后的所有数已经被p′筛过一次了，此时我们就可以跳出循环了

综上， Euler筛的复杂度为O(n)

Euler 筛法的应用：求积性函数

定义：
定义在正整数集上的函数f,对于任意两个互质的整数a,b如果有f(ab)=f(a)∗f(b)，那么f是积性函数
常见积性函数：
欧拉函数 ϕ ，莫比乌斯函数 μ
线性求解：
求积性函数的关键在于求解 f(pk) ，其它时候我们可以直接利用积性求解，而具体的 f(pk)还是要根据f的性质求解