组合数取模（Lucas）

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组合数取模在ACM竞赛中是一个很重要的问题，很多选手因为数据太大而束手无策，今天就来详细讲解它。

 

组合数取模就是求的值，当然根据，和的取值范围不同，采取的方法也不一样。

 

接下来，我们来学习一些常见的取值情况

 

（1）和

 

     这个问题比较简单，组合数的计算可以靠杨辉三角，那么由于和的范围小，直接两层循环即可。

 

（2）和，并且是素数

 

     这个问题有个叫做Lucas的定理，定理描述是，如果

 

     

 

     那么得到

 

     

   

     这样然后分别求，采用逆元计算即可。

 

 

题目：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020

 

题意：求，其中，并且是素数。

 

代码：

 #include <iostream>
 #include <string.h>
 #include <stdio.h>

 using namespace std;
 typedef long long LL;

 LL n,m,p;

 LL quick_mod(LL a, LL b)
 {
     LL ans = 1;
     a %= p;
     while(b)
     {
         if(b & 1)
         {
             ans = ans * a % p;
             b--;
         }
         b >>= 1;
         a = a * a % p;
     }
     return ans;
 }

 LL C(LL n, LL m)
 {
     if(m > n) return 0;
     LL ans = 1;
     for(int i=1; i<=m; i++)
     {
         LL a = (n + i - m) % p;
         LL b = i % p;
         ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;
     }
     return ans;
 }

 LL Lucas(LL n, LL m)
 {
     if(m == 0) return 1;
     return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
 }

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
         printf("%I64d\n", Lucas(n,m));
     }
     return 0;
 }

由于上题的比较大，所以组合数只能一个一个计算，如果的范围小点，那么就可以进行阶乘预处理计算了。