PKU3378 Crazy Thairs - 动态规划+树状数组

题目描述：

给定一个长度为N的数字序列{ai}，问总共有多少个长度为5的上升子序列。（ai<10^9,N<=50000）

分析：

由于数字范围很大，首先将数字离散化为1~N之间的整数。原a[]数组转换为d[]数组，其中d[i]=j表示a[i]是a[]数组中第j小的数。

可以用动态规划来描述这个算法：

p从0到N，令i=d[p]。f[i][k]表示以数字i为结尾，长度为k的上升序列的个数。

f[i][k]+=∑f[j][k-1]（1<=j<i）

f[i][1]=1

这样的动态转移方程是可以求出正确解的，不过时间复杂度是O(n^2)。

这里可以用到树状数组来优化算法。可以看到在状态转移的时候要求的是1~i-1之间f[j][k-1]的和。正好满足树状数组应用的条件。修改f[i][k]的定义，使得它应用于树状数组。时间复杂度降为O(nlogn)

注意：1，最大的一组数据应该会超int64，所以要用大数计算。2，输入数据中ai可能出现相同元素，要注意处理。

 

1. /*
2. PKU3378 Crazy Thairs
3. */
5. #include <stdio.h>
6. #include <stdlib.h>
7. #include <string.h>
9. #define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
10. #define int64 bignum_t
12. #define N 50005
14. /****************************************************/
16. #define DIGIT 4 //一个数组元素存放的位数个数
17. #define DEPTH 10000 //DEPTH = 10DIGIT
18. #define MAX 30 //数组的长度
20. typedef int bignum_t[MAX+1];
22. //赋值 
23. void value(bignum_t a,char buf[]){
24.     char ch;
25.     int i,j;
26.     memset((void*)a,0,sizeof(bignum_t));
27.     
28.     for (a[0]=strlen(buf),i=a[0]/2-1;i>=0;i--)
29.         ch=buf[i],buf[i]=buf[a[0]-1-i],buf[a[0]-1-i]=ch;
30.     for (a[0]=(a[0]+DIGIT-1)/DIGIT,j=strlen(buf);j<a[0]*DIGIT;buf[j++]='0');
31.     for (i=1;i<=a[0];i++)
32.     for (a[i]=0,j=0;j<DIGIT;j++)
33.         a[i]=a[i]*10+buf[i*DIGIT-1-j]-'0';
34.     for (;!a[a[0]]&&a[0]>1;a[0]--);
35. }
37. //输出
38. void write(const bignum_t a){
39.     int i,j;
40.     for (printf("%d",a[i=a[0]]),i--;i;i--)
41.     for (j=DEPTH/10;j;j/=10)
42.         printf("%d",a[i]/j%10);
43.     puts("");
44. }
46. //加法
47. void add(bignum_t a,const bignum_t b){//高精度数a+b,结果在a中
48.     int i;
49.     for (i=1;i<=b[0];i++)
50.     if ((a[i]+=b[i])>=DEPTH)
51.     a[i]-=DEPTH,a[i+1]++;
52.     if (b[0]>=a[0])
53.     a[0]=b[0];
54.     else
55.     for (;a[i]>=DEPTH&&i<a[0];a[i]-=DEPTH,i++,a[i]++);
56.     a[0]+=(a[a[0]+1]>0);
57. }
59. /********************************************************/
61. int n,m;
62. int a[N],b[N],d[N];
63. int64 f[N][5];
65. int cmp(const void *i,const void *j){
66.     return a[*(int*)i]-a[*(int*)j];
67. }
69. void Add(int i,int j,int64 t){
70.     while(i<=m){
71.         add(f[i][j],t);
72.         i+=-i&i;
73.     }
74. }
76. void Sum(int i,int j,int64 s){
77.     char c0[10]="0";
78.     value(s,c0);
79.     while(i>0){
80.         add(s,f[i][j]);
81.         i-=-i&i;
82.     }
83. }
85. int main()
86. {
87.     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
88.         int i,j,k;
89.         //input
90.         for(i=0;i<n;i++){
91.             scanf("%d",&a[i]);
92.             b[i]=i;
93.         }
94.         //order
95.         qsort(b,n,sizeof(b[0]),cmp);
96.         m=1;
97.         d[b[0]]=1;
98.         for(i=1;i<n;i++){
99.             if(a[b[i]]!=a[b[i-1]]) m++;
100.             d[b[i]]=m;
101.         }
103.         //DP
104.         int64 v1,t,u;
105.         char c0[10]="0";
106.         char c1[10]="1";
107.         value(v1,c1);
108.         for(k=0;k<=m;k++){  //clr
109.             for(j=0;j<5;j++){
110.                 value(f[k][j],c0);
111.             }
112.         }
113.         for(k=0;k<n;k++){   //DP
114.             i=d[k];
115.             Add(i,0,v1);    //f[i][0]=1
116.             for(j=1;j<=4;j++){
117.                 Sum(i-1,j-1,t); //f[][j] t=Sum(i-1)
118.                 Add(i,j,t); //f[][j] Add(i,t)
119.             }
120.         }
121.         //Total
122.         int64 total;
123.         Sum(m,4,total);
124.         //output
125.         write(total);
126.     }
127.     return 0;
128. }