类欧几里得

【xsy2126】超级绵羊异或 类欧几里德算法

题意

分析

  根据位运算的位独立性，我们逐位考虑当前位的异或值，即分析每一位的个数是有奇数个，还是偶数个。
  我们从最后一位开始进行分析。答案即为

∑i=0n−1((bi+a)mod2)mod2=(∑i=0n−1bi+a)mod2

特殊的，对于第 i 位，答案为

∑i=0n−1(⌊bi+a2i⌋mod2)mod2=(∑i=0n−1⌊bi+a2i⌋)mod2

  发现我们要求 O(logn) 个形如

calc(n,a,b,c)=∑i=0n⌊ai+bc⌋

的式子的答案。

  当 a≥c 或者 b≥c 时，我们显然可以将原式化简。
  设 a=pc+a′,b=qc+b′ ，则有

calc(n,a,b,c)=∑i=0n⌊ai+bc⌋=∑i=0n⌊pi+q+a′i+b′c⌋=pn(n+1)2+q(n+1)+calc(n,a′,b′,c)

  当 a<c 且 b<c 时，记 m=⌊an+bc⌋ ，则有

calc(n,a,b,c)=∑i=0n⌊ai+bc⌋=∑i=0n∑j=0m−1[j<⌊ai+bc⌋]=∑i=0n∑j=0m−1[j+1≤⌊ai+bc⌋]=∑i=0n∑j=0m−1[cj+c−b≤ai]=∑i=0n∑j=0m−1[cj+c−b−1<ai]=∑i=0n∑j=0m−1[i>⌊cj+c−b−1a⌋]=∑j=0m−1(n+1−∑i=0n[i≤⌊cj+c−b−1a⌋])=n×m−∑j=0m−1⌊cj+c−b−1a⌋

  边界条件为 a=0 。此时

calc(n,a,b,c)=∑i=0n⌊bc⌋=(n+1)⌊bc⌋

代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define LL long long

const int B=61;

LL nT;
LL n,a,b;

inline LL odd(LL x) {
    if (x<0) x=-x;
    return x&1;
}
inline LL binom(LL n) {
    return odd(n*(n+1)/2);
}
LL calc(LL n,LL a,LL b,LL c) {
    if (!a) {
        LL sum=odd(n+1)*odd(b/c);
        return odd(sum);
    }
    else if (a>=c||b>=c) {
        LL _a=a%c,p=(a-_a)/c;
        LL _b=b%c,q=(b-_b)/c;
        LL sum=odd(p)*binom(n)+odd(q*(n+1))+calc(n,_a,_b,c);
        return odd(sum);
    }
    else {
        LL m=(a*n+b)/c;
        LL sum=odd((n)*m)-calc(m-1,c,c-b-1,a);
        return odd(sum);
    }
}

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("sdchr.in","r",stdin);
// freopen("sdchr.out","w",stdout);
    #endif

    for (cin>>nT;nT>0;nT--) {
        cin>>n>>a>>b;
        LL sum=0;
        for (int i=0;i<=B;i++)
            sum|=(calc(n-1,b,a,1ll<<i)<<i);
        cout<<sum<<endl;
    }

    return 0;
}