数学 分配律

在抽象代数中，分配律是二元运算的一个性质，它是基本代数中的分配律的推广。

例如：

2· (1 + 3) = (2·1) + (2·3).

在以上等式的左端，是2乘以1与3的和；在等式的右端，则是分别计算1、3与2的乘积，然后再把它们相加起来。由于它们得出的结果相同，我们称乘以2对加上1和3满足分配律。

由于以上的等式对于任何实数都是成立的，我们称实数的乘法对实数的加法满足分配律。

[编辑]定义

设*及 + 是定义在集合S上的两个二元运算，我们说

• *对于 + 满足左分配律，如果:

∀ x,y,z ∈ S, x * (y+z) = (x*y) + (x*z);

• *对于 + 满足右分配律，如果:

∀ x,y,z ∈ S, (y+z) * x = (y*x) + (z*x);

• 如果*对于 + 同时满足左分配律和右分配律，那么我们说*对于 + 满足分配律。

如果*满足交换律，那么以上三条语句在逻辑上是等价的。

[编辑]例子

• 除了实数以外，自然数、复数和基数中的乘法都对加法满足分配律。
• 然而，序数的乘法对加法只满足左分配律，不满足右分配律。
• 矩阵乘法对矩阵加法满足分配律（但不满足交换律）。
• 集合的并集对交集满足分配律，交集对并集也满足分配律。另外，交集对对称差也满足分配律。
• 逻辑析取对逻辑合取满足分配律，逻辑合取对逻辑析取也满足分配律。另外，逻辑合取对逻辑异或也满足分配律。
• 对于实数（或任何全序集合），最大值对最小值满足分配律，反之亦然：max(a,min(b,c)) = min(max(a,b),max(a,c))，min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c))。
• 对于整数，最大公因子对最小公倍数满足分配律，反之亦然：gcd(a,lcm(b,c)) = lcm(gcd(a,b),gcd(a,c))，lcm(a,gcd(b,c)) = gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))。
• 对于实数，加法对最大值满足分配律，对最小值也满足分配律：a + max(b,c) = max(a+b,a+c)，a + min(b,c) = min(a+b,a+c)。

[编辑]环的分配律

分配律在环和分配格中很常见。

一个环有两个二元运算（通常称为"+"和"*"），其中一个要求是*必须对+满足分配律。

格是另外一种具有两个二元运算^和v的代数结构。如果这两个运算中的任何一个（例如^）对另外一个（v）满足分配律，则v对^也一定满足分配律，这时这个格便称为分配格。