多维空间内过 n + 1 个点的空间的性质

设有 n+1 (n∈N,n≥1) n + 1   ( n ∈ N , n ≥ 1 ) 个点 {αi,i∈N,1≤i≤n+1} { α i , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n + 1 } , βi=αi−αn+1,1≤i≤n. β i = α i − α n + 1 , 1 ≤ i ≤ n .

引理一

{∑n+1i=1xiαi:∑n+1i=1xi=1}={∑ni=1xiβi+αn+1,xi∈R} { ∑ i = 1 n + 1 x i α i : ∑ i = 1 n + 1 x i = 1 } = { ∑ i = 1 n x i β i + α n + 1 , x i ∈ R }

证明：

由 ∑n+1i=1xi=1⇔xn+1=1−∑ni=1xi ∑ i = 1 n + 1 x i = 1 ⇔ x n + 1 = 1 − ∑ i = 1 n x i 得：
∑n+1i=1xiαi ∑ i = 1 n + 1 x i α i
=∑ni=1xiαi+xn+1αn+1 = ∑ i = 1 n x i α i + x n + 1 α n + 1
=∑ni=1xiαi+(1−∑ni=1xi)αn+1 = ∑ i = 1 n x i α i + ( 1 − ∑ i = 1 n x i ) α n + 1
=∑ni=1xi(αi−αn+1)+αn+1 = ∑ i = 1 n x i ( α i − α n + 1 ) + α n + 1
=∑ni=1xiβi+αn+1 = ∑ i = 1 n x i β i + α n + 1
反之亦然。

引理二

{∑n+1i=1xiαi=0∑n+1i=1xi=0 { ∑ i = 1 n + 1 x i α i = 0 ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 有非零解 。
⇔∑ni=1xiβi=0 ⇔ ∑ i = 1 n x i β i = 0 有非零解。
⇔{βi=αi−αn+1,i∈N,1≤i≤n} ⇔ { β i = α i − α n + 1 , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n } 线性相关。

证明：

由 ∑n+1i=1xi=0⇔xn+1=−∑ni=1xi ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 ⇔ x n + 1 = − ∑ i = 1 n x i 得：
∑n+1i=1xiαi ∑ i = 1 n + 1 x i α i
=∑ni=1xiαi+xn+1αn+1 = ∑ i = 1 n x i α i + x n + 1 α n + 1
=∑ni=1xiαi+(−∑ni=1xi)αn+1 = ∑ i = 1 n x i α i + ( − ∑ i = 1 n x i ) α n + 1
=∑ni=1xi(αi−αn+1) = ∑ i = 1 n x i ( α i − α n + 1 )
=∑ni=1xiβi = ∑ i = 1 n x i β i

定义

若 {∑n+1i=1xiαi=0∑n+1i=1xi=0 { ∑ i = 1 n + 1 x i α i = 0 ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 无非零解 ，则过 这 n+1 n + 1 个点的 n n 维空间为：
{∑n+1i=1xiαi,∑n+1i=1xi=1} { ∑ i = 1 n + 1 x i α i , ∑ i = 1 n + 1 x i = 1 } 或 {∑ni=1xiβi+αn+1,xi∈R} { ∑ i = 1 n x i β i + α n + 1 , x i ∈ R } 。

注： 由引理一， 整两个集合是相等的。

推论一

若 {∑n+1i=1xiyi=0∑n+1i=1xi=0 { ∑ i = 1 n + 1 x i y i = 0 ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 无非零解 ，则过这 n+1 n + 1 个点 {yi,i∈N,1≤i≤n+1} { y i , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n + 1 } 有且只有一个 n n 维空间。

证明：

(1) 存在性：
这 n+1 n + 1 个点在平面 {∑n+1i=1xiyi,∑n+1i=1xi=1} { ∑ i = 1 n + 1 x i y i , ∑ i = 1 n + 1 x i = 1 } 上。这是因为： ∀j∈N,1≤j≤n+1, ∀ j ∈ N , 1 ≤ j ≤ n + 1 , 令 xi=δij x i = δ i j ， 则 yj=∑n+1i=1xijyi y j = ∑ i = 1 n + 1 x i j y i 。
(2) 唯一性：
设 n+1 n + 1 个点在一个平面 {∑n+1i=1xiαi,∑n+1i=1xi=1} { ∑ i = 1 n + 1 x i α i , ∑ i = 1 n + 1 x i = 1 } 上，设
Y=(y1,⋯,yn+1), Y = ( y 1 , ⋯ , y n + 1 ) ,
A=(α1,⋯,αn+1), A = ( α 1 , ⋯ , α n + 1 ) ,
yi=∑n+1j=1αjxij,∑n+1j=1xij=1,i∈N,1≤i≤n+1, y i = ∑ j = 1 n + 1 α j x i j , ∑ j = 1 n + 1 x i j = 1 , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n + 1 ,
X=(xi,j)(n+1)×(n+1), X = ( x i , j ) ( n + 1 ) × ( n + 1 ) ,
1n+1=(1,⋯,1)1×(n+1), 1 n + 1 = ( 1 , ⋯ , 1 ) 1 × ( n + 1 ) ,
x=(x1,⋯,xn+1), x = ( x 1 , ⋯ , x n + 1 ) ,
则： Y=AX,1n+1X=1n+1 Y = A X , 1 n + 1 X = 1 n + 1
由于关于 x x 的方程 {Yx=01n+1x=0 { Y x = 0 1 n + 1 x = 0 无非零解， 也就是 {AXx=01n+1x=0 { A X x = 0 1 n + 1 x = 0 无非零解，因此 Xx=0 X x = 0 无非零解。否则， 若存在 x≠0 x ≠ 0 ， 使得 Xx=0 X x = 0 ， 则 {AXx=01n+1x=(1n+1X)x=1n+1(Xx)=0 { A X x = 0 1 n + 1 x = ( 1 n + 1 X ) x = 1 n + 1 ( X x ) = 0 ， 与 {Yx=01n+1x=0 { Y x = 0 1 n + 1 x = 0 无非零解矛盾。
因此 X X 可逆，于是：
A=YX−1,1n+1=1n+1X−1 A = Y X − 1 , 1 n + 1 = 1 n + 1 X − 1
因此对于任意 1n+1z=1 1 n + 1 z = 1 ，
Yz=(AX)z=A(Xz), Y z = ( A X ) z = A ( X z ) ,
1n+1(Xz)=(1n+1X)z=1n+1z=1 1 n + 1 ( X z ) = ( 1 n + 1 X ) z = 1 n + 1 z = 1
同样，
Az=YX−1z=Y(X−1z), A z = Y X − 1 z = Y ( X − 1 z ) ,
1n+1(X−1z)=(1n+1X−1)z=1n+1z=1 1 n + 1 ( X − 1 z ) = ( 1 n + 1 X − 1 ) z = 1 n + 1 z = 1

推论二

若 {∑n+1i=1xiyi=0∑n+1i=1xi=0 { ∑ i = 1 n + 1 x i y i = 0 ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 无非零解 ，这 n+1 n + 1 个点 {yi,i∈N,1≤i≤n+1} { y i , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n + 1 } 在一个空间内，则这个空间的维度 ≥n ≥ n ，且过这 n+1 n + 1 个点 {yi,i∈N,1≤i≤n+1} { y i , i ∈ N , 1 ≤ i ≤ n + 1 } 的 n n 维空间是这个空间的子空间。

推论三

{∑n+1i=1xiyi=0∑n+1i=1xi=0 { ∑ i = 1 n + 1 x i y i = 0 ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 有非零解 ⇔ ⇔ 过这 n+1 n + 1 个点有一个 m m (m∈N,m<n) ( m ∈ N , m < n ) 维空间。

推论四

过这 n+1 n + 1 个点有一个 m m (m∈N,m≤n) ( m ∈ N , m ≤ n ) 维空间。