二项式系数 & 递推关系初步
二项式系数
1. Pascal公式：C( n, k ) = C( n-1, k ) + C( n-1, k-1)
2. 一些恒等式
a. k*C( n, k ) = n*C(n-1. k-1 )
b. C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) - … + (-1)nC(n, n) = 0 (n>=1)
c. 1*C(n, 1) + 2*C(n, 2) + 3*C(n, 3) + … + n*C(n, n) = n*2n-1
d. Vandermonde卷积：
C(2n, n) = C(n, 0)2+ C(n, 1)2+ C(n, 2)2+ … + C(n, n)2
3. 多项式定理
a. (x1+ x2+…+ xt)n中，项x1n1x2 n2…xt nt的系数是n! / (n1!* n2!*… *nt!)
b. 运用Pascal定理描述，
c. n! / (n1!* n2!*… *nt!) = n!/[ ( (n1-1)!* n2!*… *nt!) ( n1!*( n2-1)!*… *nt!)… ( n1!*( n2-1)!*… *(nt-1)! ) ]
4. 牛顿二项式定理：(x+y)n = ∑C(n, k)xkyn-k
a. (x+y)n = ya(z+1)a = ya*∑C(a, k)zk。其中z = x/y
b. 例如 计算sqrt(20)的展开式
递推关系初步
1. 斐波那契数列部分和Sn = f0+f1+…+fn = fn+2 – 1
2. 线性递推关系：hn = a1hn-1 + a2hn-2 +…+ akhn-k + bn
a. 齐次: bn = 0
如果q是方程
xk – a1xk-1 – a2xk-2 -…- ak =0
的一个根，则hn = qn是递推关系的一个解
如果方程有k个非零根且互异，则
hn = c1q1n + c2q2n + … +ckqkn是一般解
该方程称为 特征方程
如果qi是si的重根，则一般解围
hn = Hn(1) + Hn(2) +…+ Hn(t)
Hn(t) = (c1 + c2n + … +csnst-1)qtn
例如hn = -hn-1 + 3hn-2 + 5hn-3 + 2hn-4满足h0 =1, h1 =0, h2 =1, h3 =2的解
做x4 + x3 – 3x2 -5x-2 =0
方程的根是-1， -1， -1， 2。
对于-1的部分解是
Hn(1) = c1(-1)n + c2n(-1)n + c3n2(-1)n
最终的一般解为
Hn = c1(-1)n + c2n(-1)n + c3n2(-1)n + c42n
b. 非齐次
i. 求出齐次关系的一般解
ii. 求出非齐次关系的一个特解
iii. 合并，求出常数项
难点在于找出特解